Morita Equivalence

Morita 同値という概念はどんどんその適用範囲を広げている。

元々は, 森田紀一氏によって [Mor58] で導入されたの間の同値関係であるが, 今や operadgroupoid など他の代数的構造や圏論的構造にも Morita 同値の概念が拡張され, 盛んに使われている。

最も基本的な, 二つの環の間の Morita 同値については, 例えば, Weibel の [Wei94] に定義と基本的な性質がある。 Derived category の同値など, より一般的な Morita 同値も含めた survey としては, Schwede の [Sch04] がある。Morita 同値も含めた, 森田紀一氏については, AMS の Notices の記事 [AGH97] が参考になる。

  • 二つの環の module の圏が Abelian category として同値になるための条件

Morita 同値ならばその圏同値は bimodule を tensor することにより得られるわけであるが, より一般に二つの module の圏の間の functor が bimodule を tensor することにより与えられるための条件を調べたのが, Eilenberg [Eil60] と Watts [Wat60] である。

Morita 同値である典型的な例は行列環とその係数環である。

  • 環 \(R\) と行列環 \(M_n(R)\) は Morita 同値

より一般の圏における Morita 同値の例としては以下のものがある。

中心となっているのは bimodule であり, 当然 algebra を object とし, bimodule を \(1\)-morphism とする bicategory が重要な役割を果す。Niles Johnson の [Joh] によると, このような bicategory の視点 での拡張としては, Fisher-Palmquist と Palmquist の [FP75], Müger の [Müg03b], Brouwer の [Bro] などがある。

最近の流れとして, その up to homotopy 版として \((\infty ,n)\)-category を使うのは当然だろう。Haugseng が [Hau17] で \(E_n\)-algebra を object とし, bimodule や bimodule の間の bimodule を morphism とする \((\infty ,n+1)\)-category を構成している。

Module の category が monoidal structure を持つときには, monoidal category としての同値を考えるべきだろう。例えば, Hopf algebra 上の module の category の場合などである。

  • monoidal Morita equivalence

Shimizu [Shia] は finite group algebra の場合を考えている。 Shimizu [Shib] によると, gauge equivalence という概念で finite dimensional Hopf algebra の monoidal Morita equivalence を特徴づけたのは, Schauenburg [Sch96] である。

有限群の複素表現の場合, symmetric monoidal category の構造から元の群が復元できることが分かっているが, 複素表現が (symmetric structure を忘れた) monoidal category として同値 になるが群が同型ではないような例が Etingof と Gelaki の [EG01] に挙げれらている。Izumi と Kosaki [IK02] によっても同様の例は発見されている。

そこで, Etingof と Gelaki は 単なる monoidal structure だけで何が言えるかを考えている。彼等は, 二つの群の表現の category が monoidal categoryとして同値であるとき, その二つの群はisocategorical である, という言い方をしている。Davydov の [Dav01] もある。

  • isocategorical group

Galindo [Gal] は, 一般の体の上で二つの群が isocategorical になる条件を考えている。

Symmetric monoidal category と monoidal category の間には braided monoidal category があるので, braided monoidal category としての同値を考えることも自然なアイデアである。例えば [GMN07; NN08; Wak] など。

  • braided (monoidal) Morita equivalence

ホモロジー代数的な一般化としては, derived category を考えるのが自然だろう。 そして, それは structured ring spectra の圏へと一般化されている。

前者は derived Morita equivalence, 後者は homotopical Morita equivalence と呼ばれるようである。後者を調べたものとしては, 例えば, Berglund と Hess [BH] の monoidal model category での coring の homotopical Morita equivalence がある。

Derived category の同値を調べる際には, tilting complex というものが重要な役割を果す。詳しくは, König と Zimmermann の [KZ98] と Schwede の [Sch04] を見ること。Dugger と Shipley は [DS07] で DGA の topological equivalence という概念を用いて, topological tilting theory というものを考えている。

Niles Johnson の [Joh] は, derived Morita 同値と bicategory 的な Morita 同値を融合しようというものである。Johnson は [Joh14] で, bicategory での Azumaya object の特徴付けの結果として, Rickard や Dugger と Shipley の結果 (の一部) を得ている。

また Eilenberg-Watts の定理の model category 版が Hovey の [Hov] で得られている。

別の一般化として, Słomińska は, [Sło04] で \(R\)-module の圏に値を持つ functor category の Morita 同値を考えている。それを semi-stable model category に一般化したのが, Helmstutler の [Hel] である。

Naidu の [Nai07] は, 群や群とその \(3\)次元コホモロジー類の組に対しできる tensor category の間の Morita 同値を用いて, 群の圏や群と \(3\)次元コホモロジー類の圏に “categorical Morita equivalence” という概念を定義しようという試みである。

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