Simplicial Abelian group に対し, その normalized chain complex を対応させることにより,
simplicial Abelian group の圏と bounded below chain complex の圏は同値になる。より一般に
simplicial \(R\)-module の圏と \(R\) 上の bounded below chain complex の圏も同値になる。 この対応は
Dold-Kan correspondence と呼ばれる。
元の文献は, Dold の [Dol58], Dold と Puppe の [DP61], そして Kan の [Kan58] であるが, Goerss
と Jardine の本 [GJ09] や Weibel の本 [Wei94] で解説されているので, まずはこれらの本を読むのが良いだろう。Normalized
chain complex を対応させることの逆, つまり bounded below chain complex から simplicial
Abelian group を作ることについては, これらの本にも記述があるが, Castiglioni と Ladra の [CL]
にも具体的な記述がある。
一般化や類似の対応も色々知られている。
まず, cosimplicial 版がある。例えば, Weibel の本 [Wei94] に Corollary/Definition 8.4.3
として述べられている。
- Cosimplicial Abelian group に対しその
normalized cochain complex を取るという対応で, cosimplicial Abelian group の圏と
bounded below cochain complex の圏は同値になる。
Cochain complex の場合は積を持つことが多いことから, このdual Dold-Kan correspondence から
simplicial ring と differential graded ring の間の対応を作ろうというのは自然なアイデアである。実際 Castiglioni
と Cortinas [CC04] は次を証明している。
- Dual Dold-Kan correspondence の拡張により cosimplicial ring の圏のホモトピー圏と
differential graded ring の圏のホモトピー圏の同値を与える
残念ながら, 圏の同値ではなくホモトピー圏の同値であるが。 よって model category を用いる必要がある。
Simplicial ring と differential graded ring の対応への一般化, そしてそれの更なる一般化は, Schwede と
Shipley が [SS03] で行なっている。
Schwede と Shipley の結果は, より一般の monoidal model category に関するものであるが, Shoikhet
[Sho] が言っているように, Dold-Kan correspondence の双方の functor は strict monoidal
ではない。Shoikhet は, Dold-Kan correspondence の場合を含めるように条件を弱めることを考えている。 ただ, その
version 2 の arXiv での comment によると, それは既に Aguiar と Mahajan の本 [AM10] の §5.4
で考えられていたことのようである。
Simplicial coalgebra と dg coalgebra の間の Dold-Kan correspondence の類似については, Soré
[Sor] が調べている。
Gutiérrez と Lukacs と Weiss [GLW] は dendroidal Abelian group への一般化を考えている。
Strict \(\omega \)-category での Abelian group object への拡張を考えている人 [Mil] もいる。
Dyckerhoff [Dyc21] は, “categorification” の存在を証明している。Waldhausen \(S\)-construction
の一般化になっているようである。
- categorified Dold-Kan correspondence
応用としては, Kauffman [Kau] が link homology の研究に使うことを提案している。 鎖複体を simplicial
object に変換するのでホモトピー論的に扱えるから, というのが提案の動機らしい。 Khovanov homotopy type
との関連はどうなっているのだろう?
References
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[AM10]
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arXiv: math/0209342. url:
http://dx.doi.org/10.2140/agt.2003.3.287.
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[Wei94]
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Vol. 38. Cambridge Studies in Advanced Mathematics. Cambridge
University Press, Cambridge, 1994, pp. xiv+450. isbn: 0-521-43500-5;
0-521-55987-1. url: https://doi.org/10.1017/CBO9781139644136.
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