Double Affine Hecke Algebra or Cherednik Algebra

Double affine Hecke algebra (DAHA) は, Cherednik が [Che92] で導入したものである。 Cherednik algebra ともいう。

Wang の [Wan] によると, Cherednik algebra は次のものと関係が深い:

• K. Saito の elliptic root system [Sai85]
• Dunkl operator [Dun89]
• integrable system
• Macdonald polynomial

Cherednik algebra については, Rouquier の survey [Rou05] がある。その section 2 では, Dunkl operator を用いて motivation が説明してある。 Kirillov, Jr. の講義ノート [Jr] もある。ICM2006 での Haiman の講演録 [Hai06] は, 彼のホームページ から手に入る。

トポロジーの視点から見て面白いと思われる事実は, Cherednik algebra が, ある variety の equivariant \(K\)-theory として実現できることである。これは Vasserot により [Vas05] で証明された。

• Cherednik algebra は, loop Steinberg variety の equivariant \(K\)-theory として実現できる。

\(A_n\)型の場合, つまり対称群の場合, Cherednik algebra は平面の点の Hilbert scheme と関係が深いことが分かっている。対称積や 複素平面の点の configuration space と Hilbert scheme の関係を考えれば, Hilbert scheme と何らかの関係があって不思議ではない。 Gordon と Stafford [GS] は, rational Cherednik algebra から algebra \(B\) を作り, ある種の graded \(B\)-module の category が Hilbert scheme 上の coherent sheaf の category と同値になることを示している。

• rational Cherednik algebra [EG02]

Cherednik algebra は knot とも関係があるようである。 Cherednik [Che13] は, torus knot の Jones polynomial を Cherednik algebra から構成することを提案している。 そのアイデアの起源は, Aganagic と Shakirov の [AS15] のようであるが。

その後, 様々な人が, knot と Cherednik algebra の関係を調べている。 ここには書ききれないが。

References

[AS15]

Mina Aganagic and Shamil Shakirov. “Knot homology and refined Chern-Simons index”. In: Comm. Math. Phys. 333.1 (2015), pp. 187–228. arXiv: 1105.5117. url: https://doi.org/10.1007/s00220-014-2197-4.

[Che13]

Ivan Cherednik. “Jones polynomials of torus knots via DAHA”. In: Int. Math. Res. Not. IMRN 23 (2013), pp. 5366–5425. arXiv: 1111.6195. url: https://doi.org/10.1093/imrn/rns202.

[Che92]

Ivan Cherednik. “Double affine Hecke algebras, Knizhnik-Zamolodchikov equations, and Macdonald’s operators”. In: Internat. Math. Res. Notices 9 (1992), pp. 171–180. url: http://dx.doi.org/10.1155/S1073792892000199.

[Dun89]

Charles F. Dunkl. “Differential-difference operators associated to reflection groups”. In: Trans. Amer. Math. Soc. 311.1 (1989), pp. 167–183. url: http://dx.doi.org/10.2307/2001022.

[EG02]

Pavel Etingof and Victor Ginzburg. “Symplectic reflection algebras, Calogero-Moser space, and deformed Harish-Chandra homomorphism”. In: Invent. Math. 147.2 (2002), pp. 243–348. arXiv: math/0011114. url: http://dx.doi.org/10.1007/s002220100171.

[GS]

I. Gordon and J. T. Stafford. Rational Cherednik algebras and Hilbert schemes. arXiv: math/0407516.

[Hai06]

Mark Haiman. “Cherednik algebras, Macdonald polynomials and combinatorics”. In: International Congress of Mathematicians. Vol. III. Eur. Math. Soc., Zürich, 2006, pp. 843–872.

[Jr]

Alexander A. Kirillov Jr. Lectures on the affine Hecke algebras and Macdonald conjectures. arXiv: math/9501219.

[Rou05]

Raphaël Rouquier. “Representations of rational Cherednik algebras”. In: Infinite-dimensional aspects of representation theory and applications. Vol. 392. Contemp. Math. Providence, RI: Amer. Math. Soc., 2005, pp. 103–131. arXiv: math/0504600.

[Sai85]

Kyoji Saito. “Extended affine root systems. I. Coxeter transformations”. In: Publ. Res. Inst. Math. Sci. 21.1 (1985), pp. 75–179. url: http://dx.doi.org/10.2977/prims/1195179841.

[Vas05]

Eric Vasserot. “Induced and simple modules of double affine Hecke algebras”. In: Duke Math. J. 126.2 (2005), pp. 251–323. url: http://dx.doi.org/10.1215/S0012-7094-04-12623-5.

[Wan]

Weiqiang Wang. Double affine Hecke algebras for the spin symmetric group. arXiv: math/0608074.