グラフからできる多面体

グラフからは, 様々な幾何学的対象が作られる。 凸多面体も様々な手順で得られる。

例えば, グラフの cut からは, cut polytope という \(0/1\)-polytope を作ることができる。

• cut polytope

また, associahedron の一般化として, graph associahedron というものもある。

• associahedron
• graph associahedron
• multiplihedron
• graph multiplihedron [DF08]

Permutahedron の一般化として, graphicahedron というものもある。

• graphicahedron

Araujo-Pardo, Del Río-Francos, López-Dudet, Oliveros, Schulte により, [Ara+10] で導入された。 単純グラフが与えられたときに, 辺をその両端の頂点の互換とみなすことにより, 頂点集合の対称群の生成元が得られる。その Cayley graph から作られる 抽象多面体である。 幾何学的な多面体ではないが, 興味深い構成である。

グラフの辺に長さが指定されているとき, 最短の道の長さを距離として, 頂点の間に距離を定めることができる。有限グラフからは, 有限距離空間ができるので, fundamental polytope やその polar dual である Lipschitz polytope という多面体が定義される。

• fundamental polytope

その特別な場合として symmetric edge polytope と呼ばれるものがある。 とても自然な構成だと思うが, 調べられるようになったのはつい最近のようで, Matsui らの [Mat+11] で導入されたもののようである。Chen と Korchevskaia の [CK] では, 同じものが adjacency polytope と呼ばれている。その quiver 版は directed edge polytope と呼ばれるものである。

• symmetric edge polytope あるいは adjacency polytope
• directed edge polytope

グラフ \(G\) の symmetric edge polytope は, \(G\) の辺を二重化してできる quiver の directed edge polytope なので, directed edge polytope の方が基本的であり, また quiver \(Q\) の directed edge polytope の面は, \(Q\) の subquiver の directed edge polytope で実現できる。 その facet を与える subquiver の特徴付けは, [NTT24] にある。

他にも次のようなものがある。

• edge polytope [OH00]
• matching polytope [Liu12; Esp+11]
• subgraph statistics から作られる polytope [EN11]
• hypergraphic polytope [BBM19]
• flow polytope [GS78]
• Postnikov の root polytope [Pos09]
• stable set polytope または vertex packing polytope [Ali+]
• graphical zonotope [Sta07]
• Eulerian subgraph polytope [BG86; RM]
• metric polytope [DD20]
• spanning trees polytope [Cha22]
• bond polytope [CJN]
• total matching polytope [Fer]

Edge polytope や flow polytope や root polytope は, \(\R ^{n}\) の標準的な正規直交基底 \(\{\bm {e}_{1},\ldots ,\bm {e}_{n}\}\) を用いて \(\pm \bm {e}_{i}\) や \(\bm {e}_{i}\pm \bm {e}_{j}\) の内いくつかの点の convex hull として定義されるが, Rietsch と Williams は [RW] そのような多面体を root polytope と呼んで調べている。

ただ, 既に root polytope という名前は, Cho [Cho99] や Cellini ら [CM15] のように, root 系 から作られる多面体に用いられているし, Postnikov [Pos09] は別の意味で用いている。 更に Rietsch と Williams が新しい “root polytope” を導入してしまったのは, 困ったことである。

References

[Ali+]

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[Ara+10]

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[BBM19]

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[BG86]

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[Cha22]

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[Cho99]

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