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結び目とグラフは, 同じ\(1\)次元の幾何学的対象ということで, 共通点が多い。 結び目の多項式不変量同様, グラフの多項式不変量も色々定義されている。
Khovanov の Jones polynomial の categorification を真似て, それらのグラフの多項式不変量を
categorify することも考えられている。
Chromatic polynomial の categorification については, [HR05; HR; Sto06; CU],
dichromatic polynomial の categorification については, [Sto08; Sto06] がある。
Chromatic symmetric polynomial の categorification は, Sazdanovic と Yip [SY18]
により構成されている。Ciliberti と Moci の [CM] では, chromatic symmetric homology
と呼ばれている。
Stosic の thesis [Sto] は, Khovanov homology とグラフのホモロジー (chromatic polynomial の
categorification) を統一的に扱っている。
Helme-Guizon と Rong と Przytycki [HPR06] によると, これらは Hochschild homology や
cyclic homology とも関係があるらしい。 より正確には, 可換環 \(R\) を用いた \(R\)-graph homology と関係がある。
Przytycki は, [Prz10] でその関係を示し, また \(R\) が truncated polynomial algebra の場合を [PPS09]
で調べている。Eastwood と Hugget の [EH07] では, グラフから作られる複素射影空間の configuration space の
Euler 標数を用いて表わされている。
Tutte polynomial の categorification は Jasso-HernandezとRongの[JR06]
で構成された。 結び目により近いものとして Bollobas-Riordan polynomial の categorification
がある。これは Loebl と Moffatt が [LM08] で考えているものである。 他に Yamada polynomial
[Yam89] というものもあり, それの categorification も発見されている。 Vershinin と Vesnin の [VV07]
である。
Leinster の導入した graph の magnitude [Lei19] の categorification は, Hepworth と
Willerton [HW17] により発見されている。
References
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