Examples of Enriched Categories

Street の [Str05] の前書きでは, 初期の category theory では, 通常の category と additive category が平行して研究され, 更に additive category の研究の方が優勢だったようである。Additive category とは Abel群 の圏で enrich された category で \(0\) object を持ち, 直和で閉じているもののことなので, enriched category は category theory の初期の段階から考えられていたことになる。 より一般に加群の圏で enrich されたものは linear category と呼ばれることが多い。

• preadditive category
• additive category
• 可換環 \(k\) 上の linear category

\(\Z /2\Z \)-graded vector space の圏で enrich されている圏は Comes と Kujawa の [BCK] では supercategory と呼ばれている。 ただし, Kang, Kashiwara, Tsuchioka の [KKT]では, vector space の圏で enrich されていることを仮定しない supercategory の定義が使われている。

• supercategory

Commutative monoid で enrich されている圏は, semi-additive と呼ばれることがある。 Baues と Pirashvili [BP] は, groupoid で enrich された圏を, track category と呼んでいる。

• semi-additive category
• track category

\(k\)-linear category は, “\(k\)-algebra with several objects” とみなすことが できるが, その拡張として“differential graded algebra with several objects” というべき概念もある。DG category (differential graded category) という名前が付いている。最近では, spectrum で enrich された圏で考えることも多い。

• dg category
• spectral category

Enriched category は, higher category の定義に使われることもある。ただし strict なものだけであるが。

• strict \(n\)-category
• Gray-category

Enriched category の変な例としては, Lawvere [Law73] によるものがある。非負の実数 \(\R _{\ge 0}\) を普通の順序で poset, つまり small category とみなすと, 実数の和により symmetric monoidal category になる。 距離空間は, この圏で enrich された small category であるというのが, Lawvere の発見である。

• 距離空間は, \(\R _{\ge 0}\) で enrich された small category

このように思うと, Euler 標数を適用できる。Leinster と Willerton の [LW13; Wil; Lei13] など。彼等は, metric space の magnitude と呼んでいる。

• magnitude

ホモトピー論, 特に, model category を調べる際には, simplicial set で enrich された圏を考えると便利なことが多い。より一般に, monoidal model category で enrich された model category を考えることもできる。

• simplicial category
• enriched model category

References

[BCK]

Jonathan Brundan, Jonathan Comes, and Jonathan R. Kujawa. A basis theorem for the degenerate affine oriented Brauer-Clifford supercategory. arXiv: 1706.09999.

[BP]

Hans-Joachim Baues and Teimuraz Pirashvili. Shukla cohomology and additive track theories. arXiv: math/0401158.

[KKT]

Seok-Jin Kang, Masaki Kashiwara, and Shunsuke Tsuchioka. Quiver Hecke superalgebras. arXiv: 1107.1039.

[Law73]

F. William Lawvere. “Metric spaces, generalized logic, and closed categories”. In: Rend. Sem. Mat. Fis. Milano 43 (1973), 135–166 (1974).

[Lei13]

Tom Leinster. “The magnitude of metric spaces”. In: Doc. Math. 18 (2013), pp. 857–905. arXiv: 1012.5857.

[LW13]

Tom Leinster and Simon Willerton. “On the asymptotic magnitude of subsets of Euclidean space”. In: Geom. Dedicata 164 (2013), pp. 287–310. arXiv: 0908.1582. url: http://dx.doi.org/10.1007/s10711-012-9773-6.

[Str05]

Ross Street. “Enriched categories and cohomology”. In: Repr. Theory Appl. Categ. 14 (2005). Reprinted from Quaestiones Math. 6 (1983), no. 1-3, 265–283 [MR0700252], with new commentary by the author, pp. 1–18.

[Wil]

Simon Willerton. Heuristic and computer calculations for the magnitude of metric spaces. arXiv: 0910.5500.