Cut-and-Paste K-Theories

Zakharevich [Zak12] は, scissors congruence group を \(\pi _{0}\) として持つような spectrum を構成した。

Scissors congruence は, 凸多面体から, 切り貼り (cut and paste) によって得られる群であるが, このように幾何学的対象に対しては, cut and paste を考えたくなることが良くある。そして, それを \(\pi _{0}\) として持つ spectrum が構成できることも良くある。

このような spectrum を Bohmann ら [Boh+24] は cut-and-paste \(K\)-theory と呼んでいる。

例えば, 代数多様体に対しては, Grothendieck group of varieties が定義され, その algebraic stack やある種の dg category などへの拡張が考えられている。 また, それらの higher \(K\)-theory 版も考えられている。

• algebraic \(K\)-theory of varieties

多様体に対する cut and paste は, 古くから SK group という形で代数化されてきた。 Karras らの [Kar+73] など。 この SK というのは, ドイツ語の “Schneiden und Kleben” の省略である。 Kreck らは, 貼り合せのときの微分同相写像も憶えている精密化も SKK group として考えている。これは “Schneiden und Kleben Kontrollierbar” の略である。

• SK group
• SKK group

Szegedy の [Sze23] に書かれているように, SKK group は, invertible topological quantum field theory と関係が深いことが知られている。そこでは, Kreck, Stolz, Teichner の未出版の結果が参照されている。Hoekzema らの [HSV] では, 他に, Schommer-Pries の [Sch24] と Rovi と Schoenbauer の [RS22] が挙げられている。

SK-group を \(\pi _{0}\) として持つ spectrum は, Hoekzema らの [Hoe+22] で Zakharevich と Campbell の square \(K\)-theory を用いて定義されている。また SK-group の 境界付き多様体への一般化も定義されている。 その square \(K\)-theory については, Campbell らの [Cam+] にまとめられている。

• square \(K\)-theory

また cobordism と cut-and-pase を合せた関係で定義される cobordism cut and paste group が Hoekzema らの [HRS25] で定義され, その \(K\)-theory 版も定義されている。

群作用を持つ多様体については, Merling らの [Mer+] がある。

Merling らは [MRS] で parametrized 版を導入している。

元々の scissors congruence group は 多面体に関するものなので, 他の 組み合せ論的対象に対しても cut-and-paste \(K\)-theory が定義できそうであるが, 実際 Gomez Lopez [Gom] により matroid に対し定義され, Tutte polynomial との関係も得られている。 ただし, そこで使われているのは, Bohmann ら [Boh+24] の category with covering family に対する \(K\)-theory であるが。

References

[Boh+24]

Anna Marie Bohmann, Teena Gerhardt, Cary Malkiewich, Mona Merling, and Inna Zakharevich. “A trace map on higher scissors congruence groups”. In: Int. Math. Res. Not. IMRN 18 (2024), pp. 12683–12710. arXiv: 2303.08172. url: https://doi.org/10.1093/imrn/rnae153.

[Cam+]

Jonathan Campbell, Josefien Kuijper, Mona Merling, and Inna Zakharevich. Algebraic \(K\)-theory for squares categories. arXiv: 2310.02852.

[Gom]

Mauricio Gomez Lopez. Realizing the Tutte polynomial as a cut-and-paste \(K\)-theoretic invariant. arXiv: 2501.12250.

[Hoe+22]

Renee S. Hoekzema, Mona Merling, Laura Murray, Carmen Rovi, and Julia Semikina. “Cut and paste invariants of manifolds via algebraic \(K\)-theory”. In: Topology Appl. 316 (2022), Paper No. 108105, 18. arXiv: 2001.00176. url: https://doi.org/10.1016/j.topol.2022.108105.

[HRS25]

Renee S Hoekzema, Carmen Rovi, and Julia Semikina. “A K-theory spectrum for cobordism cut and paste groups”. In: Algebr. Geom. Topol. 25.6 (2025), pp. 3287–3314. arXiv: 2210.00682. url: https://doi.org/10.2140/agt.2025.25.3287.

[HSV]

Renee S. Hoekzema, Luuk Stehouwer, and Simona Veselá. SKK groups of manifolds and non-unitary invertible TQFTs. arXiv: 2504.07917.

[Kar+73]

U. Karras, M. Kreck, W. D. Neumann, and E. Ossa. Cutting and pasting of manifolds; \(\mathrm {SK}\)-groups. Mathematics Lecture Series, No. 1. Publish or Perish, Inc., Boston, Mass., 1973, pp. vii+70.

[Mer+]

Mona Merling, Ming Ng, Julia Semikina, Alba Sendón Blanco, and Lucas Williams. Scissors congruence \(K\)-theory for equivariant manifolds. arXiv: 2501.06928.

[MRS]

Mona Merling, George Raptis, and Julia Semikina. Parametrized scissors congruence \(K\)-theory of manifolds and cobordism categories. arXiv: 2504.01810.

[RS22]

Carmen Rovi and Matthew Schoenbauer. “Relating cut and paste invariants and TQFTS”. In: Q. J. Math. 73.2 (2022), pp. 579–607. arXiv: 1803.02939. url: https://doi.org/10.1093/qmath/haab044.

[Sch24]

Christopher Schommer-Pries. “Invertible topological field theories”. In: J. Topol. 17.2 (2024), Paper No. e12335, 64. arXiv: 1712.08029. url: https://doi.org/10.1112/topo.12335.

[Sze23]

Lóránt Szegedy. “On invertible 2-dimensional framed and \(r\)-spin topological field theories”. In: Homology Homotopy Appl. 25.1 (2023), pp. 105–126. arXiv: 1907.09428. url: https://doi.org/10.4310/hha.2023.v25.n1.a6.

[Zak12]

Inna Zakharevich. “Scissors congruence as \(K\)-theory”. In: Homology Homotopy Appl. 14.1 (2012), pp. 181–202. arXiv: 1101.3833. url: https://doi.org/10.4310/HHA.2012.v14.n1.a9.