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Proper Maps |
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Proper map の定義は, どれを見るのが良いのだろうか。Baum ら [Bau+] は, Bourbaki の [Bou98] の97ページの Definition 1 を参照している。その定義は以下のものである。 Definition 1. A continuous map \(f:X\to Y\) is called proper if \[ f\times 1_{Z} : X\times Z\rarrow {} Y\times Z \] is closed for any topological space \(Z\).
\(X\) が Hausdorff で \(Y\) が locally compact のときは, 任意の compact subset \(K\subset Y\) に対し \(f^{-1}(K)\) が compact という, よく見かける条件と同値になる。 Baum ら [Bau+] は, locally compact Hausdorff space の場合に, \(C^{*}\)-algebra を用いた特徴付けを述べている。 層のコホモロジーや derived category を考えるときには, proper map は重要な役割を果すが, locally proper map も同様のよい性質を持つことが Schnürer と Soergel [SS] により示されている。
Noncompact な空間を, 無限遠点でのふるまいも考慮して考えるためには, proper map, そして proper homotopy を考えるのがよいようであり, proper homotopy theory というべきものも考えられている。 群の作用を考えるときには, proper action を考える。 References
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