化学

化学と 物理学, 化学と 生物学の境界はどの辺にあるのかよく分からないが, その辺の話題で, 物理学や 生物学のページに書かなかったことを集めてみた。

例えば, 結晶の構造などは, 物性物理なのか化学なのか分からない。 Schulte の [Sch14] では, crystal chemistry という言葉が使われていて, Wells の [Wel77] や O’Keeffe らの [OH96; DO05; OKe08; OKe+08] などの文献が挙げられている。

Quasicrystal を発見した Shechtman は, その業績でノーベル化学賞を授与されているので, quasicrystal も化学の範疇なのだろう。

• crystal
• quasicrystal

日本人の仕事として有名なのは, 分子の構造を グラフで表し, グラフの不変量を調べた細矢治夫氏の研究だろう。 Hosoya polynomial や topological index などが [Hos71] で導入されている。もっとも, その論文では Hosoya polynomial は Wiener polynomial と呼ばれているが。

• Hosoya polynomial
• topological index (Hosoya index)

このような, 数学を用いた化学の研究, つまり mathematical chemistry について, 細矢氏は自身の経験から [細矢07] という文章を書いているが, それによると現在では数百もの topological index が提唱されているそうである。細矢氏のものは Hosoya index と呼ばれているらしい。

また, このようなグラフを用いた研究を chemical graph theory と呼ぶようである。

• chemical graph theory

高分子の構造などを調べるのに, 最近では persistent homology が使われるようになっている。もっとも, 「道具」として persistent homology が使えるようになった現在では, これは代数的トポロジーの応用とは言えないだろう。 別の方向からの高分子へのアプローチとしては, DNA topology のように knot theory を使うものがある。 [AJR] など。

伝統的なトポロジーの手法を化学の問題に使ったものとしては, Catanzaro, Chernyak, Klein の [CCK19] がある。 ユニタリ群の部分空間のホモロジーを使っている。

Morava [Mor] は \(\Omega \Sigma \CP ^{\infty }\) に associate した Baker-Richter Thom spectrum \(M\xi \) [BR08; BR14] を chemical reaction network を調べるのに使うことを提案している。

• chemical reaction network

Chemical reaction network については, Jose らの [JTM22] の section 2に定義がまとめられている。その起源は, Fritz Horn, Roy Jackson [Hor73; HJ72], Martin Feiberg [Fei72] の仕事のようである。Feiberg の lecture notes [Fei79] は 1979 年のものであるが, scan したものが公開されている。

References

[AJR]

Keith Alexander, Alexander J. Taylor, and Mark R. Dennis. Proteins analysed as virtual knots. arXiv: 1611.06185.

[BR08]

Andrew Baker and Birgit Richter. “Quasisymmetric functions from a topological point of view”. In: Math. Scand. 103.2 (2008), pp. 208–242. arXiv: math/0605743.

[BR14]

Andrew Baker and Birgit Richter. “Some properties of the Thom spectrum over loop suspension of complex projective space”. In: An alpine expedition through algebraic topology. Vol. 617. Contemp. Math. Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2014, pp. 1–12. arXiv: 1207.4947. url: https://doi.org/10.1090/conm/617/12298.

[CCK19]

Michael J. Catanzaro, Vladimir Y. Chernyak, and John R. Klein. “Exciton scattering via algebraic topology”. In: J. Topol. Anal. 11.2 (2019), pp. 251–272. arXiv: 1505.02365. url: https://doi.org/10.1142/S1793525319500110.

[DO05]

Olaf Delgado-Friedrichs and Michael O’Keeffe. “Crystal nets as graphs: Terminology and definitions”. In: Journal of Solid State Chemistry 178.8 (2005). Reticular Chemistry: Design, Synthesis, Properties and Applications of Metal-Organic Polyhedra and Frameworks, pp. 2480–2485. url: http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S002245960500263X.

[Fei72]

Martin Feiberg. “Complex balancing in general kinetic systems”. In: Arch. Rational Mech. Anal. 49 (1972), pp. 187–194. url: https://doi.org/10.1007/BF00255665.

[Fei79]

M. Feiberg. Lectures on Chemical Reaction Networks. 1979. url: https://zenodo.org/records/10631900.

[HJ72]

F. Horn and R. Jackson. “General mass action kinetics”. In: Arch. Rational Mech. Anal. 47 (1972), pp. 81–116. url: https://doi.org/10.1007/BF00251225.

[Hor73]

F. Horn. “Necessary and sufficient conditions for complex balancing in chemical kinetics”. In: Arch. Rational Mech. Anal. 49 (1972/73), pp. 172–186. url: https://doi.org/10.1007/BF00255664.

[Hos71]

Haruo Hosoya. “Topological Index. A Newly Proposed Quantity Characterizing the Topological Nature of Structural Isomers of Saturated Hydrocarbons”. In: Bulletin of the Chemical Society of Japan 44.9 (1971), pp. 2332–2339. url: https://doi.org/10.1246/bcsj.44.2332.

[JTM22]

Editha C. Jose, Dylan Antonio SJ. Talabis, and Eduardo R. Mendoza. “Absolutely complex balanced kinetic systems”. In: MATCH Commun. Math. Comput. Chem. 88.2 (2022), pp. 397–436. arXiv: 2103.11183.

[Mor]

Jack Morava. Topological invariants of some chemical reaction networks. arXiv: 1910.12609.

[OH96]

M O’Keeffe and B.G. Hyde. Crystal Structures. I: Patterns and Symmetry. Washington, DC: Mineralogical Society of America, 1996.

[OKe+08]

Michael O’Keeffe, Maxim A. Peskov, Stuart J. Ramsden, and Omar M. Yaghi. “The Reticular Chemistry Structure Resource (RCSR) Database of, and Symbols for, Crystal Nets”. In: Accounts of Chemical Research 41.12 (2008), pp. 1782–1789. url: http://pubs.acs.org/doi/abs/10.1021/ar800124u.

[OKe08]

Michael O’Keeffe. “Three-periodic nets and tilings: regular and related infinite polyhedra”. In: Acta Crystallographica Section A 64.3 (May 2008), pp. 425–429. url: http://dx.doi.org/10.1107/S010876730800826X.

[Sch14]

Egon Schulte. “Polyhedra, complexes, nets and symmetry”. In: Acta Crystallogr. Sect. A 70.3 (2014), pp. 203–216. arXiv: 1403.0045. url: https://doi.org/10.1107/s2053273314000217.

[Wel77]

A. F. Wells. Three-dimensional nets and polyhedra. Wiley Monographs in Crystallography. Wiley-Interscience [John Wiley & Sons], New York-London-Sydney, 1977, pp. xii+268.

[細矢07]

治夫 細矢. “ある数理化学者のつぶやき”. In: Molecular Science 1.1 (2007), A0013–A0013.