生物学との関連

生物学と数学全般の関連については, Sturmfels の “Can biology lead to new theorems?” がある。2005年の Clay Mathematics Institute の annual report のために書いたものらしい。 Reed による AMS の Notices の記事 [Ree04] も同じ頃に書かれたものである。

より新しいものとしては, AMS Notices の2015年11月号がある。数理生物学について特集されていて, Reed による2004年の記事の「続編」も掲載されている。

トポロジーというより組み合せ論との関係であるが, 系統樹 (phylogenetic tree) を数学的に調べるということが, 盛んに研究されている。更に, 生物全体の「家系図」つまり tree of life について考えている人もいる。

• 系統樹や tree of life について

他にも RNA の構造を, 組み合せ論的構造 (グラフの一種) と考えて調べている人もいる。[JQR08] など。蛋白質の ribbon graph (fatgraph) によるモデルを考えている人 [Pen+10] もいる。 よりトポロジカルなものとしては, [DLV09] などがある。 この blog で知った。

Phylogenomics という言葉は, [PS07] で初めて知った。 統計学, 組み合せ論, 確率論, そして代数幾何学が関係しているらしい。 とりあえずは, この論文をみてみるとよい。

Carr, Devadoss, Forcey [CDF11]によると, biological statistics には, graph associahedron が現れる [Mor+09] らしい。

Persistent homology は, 高分子の構造など, 生物学とも関係の深い構造に使われている。更に, 生態学や動物行動学などのようなマクロなレベルの生物学でも使われるようになってきた。 Topaz と Ziegelmeier と Halverson の [TZH] など。

生物学と言えるのか化学に入るのかよく分からないが, oriented matroid も登場する。Oliveira らの [Oli+01; BGO] など。

化学や生物学でのモデルとして導入された branched polymer というものは, 数学的にも面白そうである。Brydges と Imbre の [BI03] や Kenyon と Winkler の [KW09] や Meszaros と Postnikov [MP13] など。 Meszaros と Postnikov は, hyperplane arrangement との関連を発見している。

• branched polymer

生物学に現れる蛋白質でできたものの構造を category theory を用いて表そうという試み [Spi+] もある。 遺伝学 (genetics) のために category theory を言語を用いることを提案している人 [Tuya; Tuy18; Tuyb] もいる。

Leinster の small category のEuler標数を, enriched category とみなした距離空間に適用した magnitude という不変量は, biodiversity の文献 [SP94] にも独立に登場しているらしい。それを受けて, Leinster は, 数理生物学者との共著で biodiversity に関する論文を発表している。 この \(n\)-Category Caféのpost からたどって download できる。

Neuron の network の研究には, それに付随するグラフの clique complex のトポロジーが使えるらしい [CDI12]。これは, 生物学というより network topology という 分野に近いと思うが。他にも Dłotko ら [Dot+] や Giusti ら [GGB16] が algebraic topology の道具を使おうとしている。

• neuroscience

Dłotkoや Kathryn Hess や Ran Levi らの参加する Blue Brain project と いう project があるが, その解説が ここにある。

このMIT Technology Reviewの記事では, 人間の脳の構造を調べたSizemore, Giusti, Betzel, Bassett の論文 [Siz+18] が紹介され, “This is clearly an exciting time to be an algebraic topologist” という文で締め括られている。

Mathematical morphology と discrete Morse theory との関係は, Boutry, Bertrand, Najman の [BBN] で調べられている。

• mathematical morphology

References

[BBN]

Nicolas Boutry, Gilles Bertrand, and Laurent Najman. Gradient Vector Fields of Discrete Morse Functions and Watershed-cuts. arXiv: 2203.11512.

[BGO]

C. G. Bailey, D. W. Gull, and J. S. Oliveira. Hypergraphic Oriented Matroid Relational Dependency Flow Models of Chemical Reaction Networks. arXiv: 0902.0847.

[BI03]

David C. Brydges and John Z. Imbrie. “Branched polymers and dimensional reduction”. In: Ann. of Math. (2) 158.3 (2003), pp. 1019–1039. url: http://dx.doi.org/10.4007/annals.2003.158.1019.

[CDF11]

Michael Carr, Satyan L. Devadoss, and Stefan Forcey. “Pseudograph associahedra”. In: J. Combin. Theory Ser. A 118.7 (2011), pp. 2035–2055. arXiv: 1005.2551. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.jcta.2011.04.004.

[CDI12]

Carina Curto, Anda Degeratu, and Vladimir Itskov. “Flexible memory networks”. In: Bull. Math. Biol. 74.3 (2012), pp. 590–614. arXiv: 1009.4958. url: https://doi.org/10.1007/s11538-011-9678-9.

[DLV09]

Isabel K. Darcy, John Luecke, and Mariel Vazquez. “Tangle analysis of difference topology experiments: applications to a Mu protein-DNA complex”. In: Algebr. Geom. Topol. 9.4 (2009), pp. 2247–2309. arXiv: 0710. 4150. url: https://doi.org/10.2140/agt.2009.9.2247.

[Dot+]

Paweł Dotko et al. Topological analysis of the connectome of digital reconstructions of neural microcircuits. arXiv: 1601.01580.

[GGB16]

Chad Giusti, Robert Ghrist, and Danielle S. Bassett. “Two’s company, three (or more) is a simplex”. In: J. Comput. Neurosci. 41.1 (2016), pp. 1–14. arXiv: 1601 . 01704. url: https://doi.org/10.1007/s10827-016-0608-6.

[JQR08]

Emma Y. Jin, Jing Qin, and Christian M. Reidys. “Combinatorics of RNA structures with pseudoknots”. In: Bull. Math. Biol. 70.1 (2008), pp. 45–67. arXiv: 0704.2518. url: https://doi.org/10.1007/s11538-007-9240-y.

[KW09]

Richard Kenyon and Peter Winkler. “Branched polymers”. In: Amer. Math. Monthly 116.7 (2009), pp. 612–628. arXiv: 0709.2325. url: http://dx.doi.org/10.4169/193009709X458582.

[Mor+09]

Jason Morton, Lior Pachter, Anne Shiu, Bernd Sturmfels, and Oliver Wienand. “Convex rank tests and semigraphoids”. In: SIAM J. Discrete Math. 23.3 (2009), pp. 1117–1134. arXiv: math/0702564. url: https://doi.org/10.1137/080715822.

[MP13]

Karola Mészáros and Alexander Postnikov. “Branched polymers and hyperplane arrangements”. In: Discrete Comput. Geom. 50.1 (2013), pp. 22–38. arXiv: 0909.4547. url: https://doi.org/10.1007/s00454-013-9499-8.

[Oli+01]

Joseph Oliveira, Colin Bailey, Janet Jones-Oliveira, and David Dixon. “An algebraic-combinatorial model for the identification and mapping of biochemical pathways”. In: Bulletin of Mathematical Biology 63.6 (Nov. 2001), pp. 1163–1196. url: http://dx.doi.org/10.1006/bulm.2001.0263.

[Pen+10]

R. C. Penner, Michael Knudsen, Carsten Wiuf, and Jørgen Ellegaard Andersen. “Fatgraph models of proteins”. In: Comm. Pure Appl. Math. 63.10 (2010), pp. 1249–1297. arXiv: 0902.1025. url: https://doi.org/10.1002/cpa.20340.

[PS07]

Lior Pachter and Bernd Sturmfels. “The mathematics of phylogenomics”. In: SIAM Rev. 49.1 (2007), pp. 3–31. arXiv: math/ 0409132. url: http://dx.doi.org/10.1137/050632634.

[Ree04]

Michael C. Reed. “Why is mathematical biology so hard?” In: Notices Amer. Math. Soc. 51.3 (2004), pp. 338–342.

[Siz+18]

Ann E. Sizemore et al. “Cliques and cavities in the human connectome”. In: J. Comput. Neurosci. 44.1 (2018), pp. 115–145. arXiv: 1608.03520. url: https://doi.org/10.1007/s10827-017-0672-6.

[SP94]

A. Solow and S. Polasky. “Measuring biological diversity”. In: Environmental and Ecological Statistics 1 (1994), pp. 95–107.

[Spi+]

David I. Spivak, Tristan Giesa, Elizabeth Wood, and Markus J. Buehler. Category theoretic analysis of hierarchical protein materials and social networks. arXiv: 1103.2273.

[Tuya]

Rémy Tuyéras. Category Theory for Genetics. arXiv: 1708.05255.

[Tuyb]

Rémy Tuyéras. Category theory for genetics II: genotype, phenotype and haplotype. arXiv: 1805.07004.

[Tuy18]

Rémy Tuyéras. “Category theory for genetics I: mutations and sequence alignments”. In: Theory Appl. Categ. 33 (2018), Paper No. 40, 1269–1317. arXiv: 1805.07002.

[TZH]

Chad M. Topaz, Lori Ziegelmeier, and Tom Halverson. Topological Data Analysis of Biological Aggregation Models. arXiv: 1412.6430.