Quillen-Grothendieck Completion and Algebraic K-theory of Symmetric Monoidal Categories

Quillen は symmetric monoidal category \(\bm {S}\) から新しい symmetric monoidal category \(\bm {S}^{-1}\bm {S}\) を作る方法を導入した。Grayson による Quillen の [Qui73] の“続編” [Gra76] に書かれている。

Quillen は symmetric monoidal category を commutative monoid の categorification と考え, Grothendieck group の構成, つまり commutative monoid の group completion を symmetric monoidal category に lift したわけである。

この構成については, Thomason の [Tho80] を見るとよい。そこでは, Quillen-Grothendieck completion と呼ばれている。Thomason は Fiedorowicz の論文 [Fie78] を参照している。

• Quillen-Grothendieck completion

\(\bm {S}\) が small symmetric monoidal category ならば, その monoidal structure により分類空間 \(B\bm {S}\) が topological monoid になるが, Quille-Grothendieck completion の分類空間 \(B(\bm {S}^{-1}\bm {S})\) の \(\pi _{0}\) は \(\pi _{0}(B\bm {S})\) の group completion になっている。 よって, \(K_{0}(\bm {S})=\pi _{0}(B(\bm {S}^{-1}\bm {S}))\) となる。

更に \(B(\bm {S}^{-1}\bm {S})\) は, \(B\bm {S}\) のホモトピー論的 group completion になっていて, \(\bm {S}\) が環 \(R\) 上の有限生成 projective module と同型の成す圏を直和により symmetric monoidal category とみなしたもののとき, \(R\) の algebraic \(K\)-theory が得られる。よって \(B(\bm {S}^{-1}\bm {S})\) のホモトピー群を symmetric monoidal category \(\bm {S}\) の algebraic \(K\)-theory と呼ぶ。

また, \(B(\bm {S}^{-1}\bm {S})\) は無限ループ空間になり, それにより定まる spectrum を \(\bm {S}\) の algebraic \(K\)-theory spectrum と呼ぶ。

Bohmann と Szymik [BS23] は algebraic theory の algebraic \(K\)-theory を定義するのに用いている。

興味深いことに, この構成が位相空間の \(K\)-theory と関係があることを Segal が [Seg77] で述べている。 さすが Segal である。

具体的には, \(\bm {S}\) が \(\R \) または \(\bbC \) 上の有限次元ベクトル空間のとき, \(B(\bm {S}^{-1}\bm {S})\) が separable 無限次元 Hilbert 空間 \(H\) 上の Fredholm operator の成す空間 \(\mathrm {Fred}(H)\) とホモトピー同値であると述べ, 証明の概要を書いている。 その証明の行間を埋めようとして書かれたのが, Ivanov の [Iva] であるが, 結局違う証明になったようである。

Segal は, Quillen の \(Q\)-construction と位相空間の \(K\)-theory の \(K_{1}\) との関係についても述べているが, それも Ivanov の論文に書かれている。

May は, 1970年代の無限ループ空間に関する仕事の中で, symmetric monoidal category をより strict にした permutative category を使って考えている。例えば, [May74] を見るとよい。 その枠組みで, 自身の無限ループ空間の理論を適用している。

また, 彼は bipermutative category の概念を導入し, その \(K\)-theory についても調べている。 Algebraic \(K\)-theory を考えるときの monoidal structure は, 加群の圏の場合は \(\oplus \) であるが, そのような symmetric monoidal category は \(\otimes \) によっても symmetric monoidal category を持つ。 このような構造を抽象化したのが bipermutative category である。

最近では, Elmendorf と Mandell の構成 [EM06] を見るのが良いと思う。

• algebraic \(K\)-theory of permutative category

References

[BS23]

Anna Marie Bohmann and Markus Szymik. “Boolean algebras, Morita invariance and the algebraic K-theory of Lawvere theories”. In: Math. Proc. Cambridge Philos. Soc. 175.2 (2023), pp. 253–270. arXiv: 2011. 11755. url: https://doi.org/10.1017/S0305004123000105.

[EM06]

A. D. Elmendorf and M. A. Mandell. “Rings, modules, and algebras in infinite loop space theory”. In: Adv. Math. 205.1 (2006), pp. 163–228. arXiv: math/0403403. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.aim.2005.07.007.

[Fie78]

Zbigniew Fiedorowicz. “The Quillen-Grothendieck construction and extension of pairings”. In: Geometric applications of homotopy theory (Proc. Conf., Evanston, Ill., 1977), I. Vol. 657. Lecture Notes in Math. Springer, Berlin, 1978, pp. 163–169. url: https://doi.org/10.1007/BFb0069233.

[Gra76]

Daniel Grayson. “Higher algebraic \(K\)-theory. II (after Daniel Quillen)”. In: Algebraic \(K\)-theory (Proc. Conf., Northwestern Univ., Evanston, Ill., 1976). Lecture Notes in Math., Vol. 551. Springer, Berlin, 1976, pp. 217–240.

[Iva]

Nikolai V. Ivanov. Topological categories related to Fredholm operators: I. Classifying spaces. arXiv: 2111.14313.

[May74]

J. P. May. “\(E_{\infty }\) spaces, group completions, and permutative categories”. In: New developments in topology (Proc. Sympos. Algebraic Topology, Oxford, 1972). London: Cambridge Univ. Press, 1974, 61–93. London Math. Soc. Lecture Note Ser., No. 11.

[Qui73]

Daniel Quillen. “Higher algebraic \(K\)-theory. I”. In: Algebraic \(K\)-theory, I: Higher \(K\)-theories (Proc. Conf., Battelle Memorial Inst., Seattle, Wash., 1972). Lecture Notes in Math., Vol. 341. Springer, Berlin, 1973, pp. 85–147.

[Seg77]

Graeme Segal. “\(K\)-homology theory and algebraic \(K\)-theory”. In: \(K\)-theory and operator algebras (Proc. Conf., Univ. Georgia, Athens, Ga., 1975). Berlin: Springer, 1977, 113–127. Lecture Notes in Math., Vol. 575.

[Tho80]

R. W. Thomason. “Beware the phony multiplication on Quillen’s \(\cA ^{-1}\cA \)”. In: Proc. Amer. Math. Soc. 80.4 (1980), pp. 569–573. url: https://doi.org/10.2307/2043425.