Random Simplicial and Cell Complexes

Random graph の高次元版として, random simplicial complex が考えられている。

Random simplicial complex を精力的に調べている一人は Farber であるが, 彼はその動機について Costa との共著 [CF] の Introduction で書いている。それによると, mechanical system の configuration space, つまり topological robotics で規模が大きいものを考えるためのようである。

Kahle と Meckes の [KM13; KM16] は, random simplicial complex の model としては, 次の三つを挙げている。

• Erdős-Rényi random clique complex (Linial と Meshulam の [LM06] と Kahle の [Kah09])
• random Čech complex
• random Vietoris-Rips complex

Kahle らは, Betti数の中心極限定理などを考えている。 Linial と Peled [LP] は phase transition が起る threshold について調べている。

新しい random simplicial complex の model として, Costa と Farber が [CF16] で導入したものもある。

Čech complex や Vietoris-Rips complex と言えば persistent homology であるが, それを調べたものとして, Bobrowski と Kahle と Skraba の [BKS17] がある。

Babson ら [BHK11] は random \(2\)-complex (\(2\)次元単体 の\(1\)-skeleton に適当に面を貼付けたもの) の単連結性について調べている。

Lyons [Lyo09] は, CW複体で考えている。 そのために, \(\bbC \) 係数 cellular chain complex の boundary を行列とみなし, そこからできる matroid を考えている。 \(L^2\)-Betti数 とも関係あるようである。

Hiraoka と Shirai の [HS16] も random cell complex を考えたものである。Bernoulli model と呼ばれる random cell complex の model が persistent homology の視点から調べられていて, (cell complex の) Tutte polynomial との関係が得られている。

• Bernoulli cell complex model

References

[BHK11]

Eric Babson, Christopher Hoffman, and Matthew Kahle. “The fundamental group of random 2-complexes”. In: J. Amer. Math. Soc. 24.1 (2011), pp. 1–28. arXiv: 0711 . 2704. url: http://dx.doi.org/10.1090/S0894-0347-2010-00677-7.

[BKS17]

Omer Bobrowski, Matthew Kahle, and Primoz Skraba. “Maximally persistent cycles in random geometric complexes”. In: Ann. Appl. Probab. 27.4 (2017), pp. 2032–2060. arXiv: 1509 . 04347. url: https://doi.org/10.1214/16-AAP1232.

[CF]

A. Costa and M. Farber. Homological Domination in Large Random Simplicial Complexes. arXiv: 1503.03253.

[CF16]

Armindo Costa and Michael Farber. “Random simplicial complexes”. In: Configuration spaces. Vol. 14. Springer INdAM Ser. Springer, [Cham], 2016, pp. 129–153. arXiv: 1412.5805.

[HS16]

Yasuaki Hiraoka and Tomoyuki Shirai. “Tutte polynomials and random-cluster models in Bernoulli cell complexes”. In: Stochastic analysis on large scale interacting systems. RIMS Kôkyûroku Bessatsu, B59. Res. Inst. Math. Sci. (RIMS), Kyoto, 2016, pp. 289–304. arXiv: 1602.04561.

[Kah09]

Matthew Kahle. “Topology of random clique complexes”. In: Discrete Math. 309.6 (2009), pp. 1658–1671. arXiv: math/0605536. url: https://doi.org/10.1016/j.disc.2008.02.037.

[KM13]

Matthew Kahle and Elizabeth Meckes. “Limit theorems for Betti numbers of random simplicial complexes”. In: Homology Homotopy Appl. 15.1 (2013), pp. 343–374. arXiv: 1009.4130. url: https://doi.org/10.4310/HHA.2013.v15.n1.a17.

[KM16]

Matthew Kahle and Elizabeth Meckes. “Erratum to “Limit theorems for Betti numbers of random simplicial complexes” [ MR3079211]”. In: Homology Homotopy Appl. 18.1 (2016), pp. 129–142. url: https://doi.org/10.4310/HHA.2016.v18.n1.a7.

[LM06]

Nathan Linial and Roy Meshulam. “Homological connectivity of random 2-complexes”. In: Combinatorica 26.4 (2006), pp. 475–487. url: http://dx.doi.org/10.1007/s00493-006-0027-9.

[LP]

Nathan Linial and Yuval Peled. On the phase transition in random simplicial complexes. arXiv: 1410.1281.

[Lyo09]

Russell Lyons. “Random complexes and \(l^2\)-Betti numbers”. In: J. Topol. Anal. 1.2 (2009), pp. 153–175. arXiv: 0811 . 2933. url: http://dx.doi.org/10.1142/S1793525309000072.