Euclid 空間の configuration space

Euclid空間の異なる点の成す configuration space は, 代数的トポロジーでは, 多重ループ空間との関係で重要である。ま た Feichtner と Zieger [FZ02] によると, subspace arrangement の研究の端緒となったもののようである。

• \(\mathrm {Conf}_k(\R ^n)\) の定義
• \(\mathrm {Conf}_k(\bbC )/\Sigma _k\) は複素数係数の重根を持たない \(k\)次monic 多項式の成す空間と同一視できる
• \(\mathrm {Conf}_k(\bbC )/\Sigma _k\) の 基本群は braid群 \(\mathrm {Br}_k\)であり, \(\mathrm {Conf}_k(\bbC )/\Sigma _k\) は \(\mathrm {Br}_k\) の 分類空間である
• \(\mathrm {Conf}_k(\R ^{\infty })\) は可縮, よって \(\mathrm {Conf}_k(\R ^{\infty })/\Sigma _k\) は, \(\Sigma _k\) の 分類空間 \(B\Sigma _k\) であり, その基本群は対称群 \(\Sigma _k\) である

この最後の二つを比べると, braid群 (\(n=2\)) と 対称群 (\(n=\infty \)) の中間の群が存在し, \(\mathrm {Conf}_k(\R ^n)/\Sigma _k\) がその分類空間になっていそうな気がするが, \(n\ge 3\) だと \(\mathrm {Conf}_k(\R ^n)\) は単連結なので, \(\mathrm {Conf}_k(\R ^n)/\Sigma _k\) の基本群は, \(n=\infty \) の場合と同じく \(\Sigma _k\) になってしまう。また \(2<n<\infty \) だと \(K(\pi ,1)\) でもない。

• \(\mathrm {Conf}_k(\R ^n)\) は, \((n-2)\)連結
• \(\mathrm {Conf}_k(\R ^n)/\Sigma _k\) が \(K(\pi ,1)\) になるのは, \(n=2\) と \(n=\infty \) の場合のみ

ただ, Batanin は別の面から“braid群と対称群の中間”について [Bat10] で考えている。

ホモロジーやコホモロジーも良く知られている。

• configuration space のホモロジー

ホモトピー型を表わすモデルとしては, Salvetti complex やその高次元版がある。

• Salvetti complex

Giusti と Sinha [GS12] によると, Salvetti complex は, Fox と Neuwirth [FN62] そして Vassiliev [Vas92] による cellular stratification の Alexander dual であるらしい。

Blagojević と Lück と Ziegler [BLZ15] は, Euclid 空間の configuration space の Fadell-Husseini index を調べている。その中でも Salvetti complex は, 重要な役割を果している。

変種としては, Kranhold ら [BK22; Kra] により調べられている vertical configuration space というものがある。 Baron ら [Bar+] によると, Herberz と Rosner の bachelor’s thesis で調べられたのが最初で, Latifi の master’s thesis でも調べられているらしいが, これらは出版されていないようである。

• vertical configuration space

References

[Bar+]

David Baron, Urshita Pal, Chenglu Wang, Jennifer C. H. Wilson, and Chunye Yang. Representation stability in the (co)homology of vertical configuration spaces. arXiv: 2412.01128.

[Bat10]

Michael A. Batanin. “Locally constant \(n\)-operads as higher braided operads”. In: J. Noncommut. Geom. 4.2 (2010), pp. 237–263. arXiv: 0804.4165. url: http://dx.doi.org/10.4171/JNCG/54.

[BK22]

Andrea Bianchi and Florian Kranhold. “Vertical configuration spaces and their homology”. In: Q. J. Math. 73.4 (2022), pp. 1279–1306. arXiv: 2103.12137. url: https://doi.org/10.1093/qmath/haab061.

[BLZ15]

Pavle V. M. Blagojević, Wolfgang Lück, and Günter M. Ziegler. “Equivariant topology of configuration spaces”. In: J. Topol. 8.2 (2015), pp. 414–456. arXiv: 1207.2852. url: https://doi.org/10.1112/jtopol/jtv002.

[FN62]

R. Fox and L. Neuwirth. “The braid groups”. In: Math. Scand. 10 (1962), pp. 119–126.

[FZ02]

Eva Maria Feichtner and Günter M. Ziegler. “On orbit configuration spaces of spheres”. In: Topology Appl. 118.1-2 (2002). Arrangements in Boston: a Conference on Hyperplane Arrangements (1999), pp. 85–102. url: http://dx.doi.org/10.1016/S0166-8641(01)00043-8.

[GS12]

Chad Giusti and Dev Sinha. “Fox-Neuwirth cell structures and the cohomology of symmetric groups”. In: Configuration spaces. Vol. 14. CRM Series. Ed. Norm., Pisa, 2012, pp. 273–298. arXiv: 1110.4137. url: https://doi.org/10.1007/978-88-7642-431-1_12.

[Kra]

Florian Kranhold. Configuration spaces of clusters as \(E_d\)-algebras. arXiv: 2104.02729.

[Vas92]

V. A. Vassiliev. Complements of discriminants of smooth maps: topology and applications. Vol. 98. Translations of Mathematical Monographs. Translated from the Russian by B. Goldfarb. Providence, RI: American Mathematical Society, 1992, pp. vi+208. isbn: 0-8218-4555-1.