Tropical Mathematics

Tropical mathematics という分野があるらしい。 2005年2月に城崎のセミナーに参加して知った。

最初に読むものとしては, 例えば Brugallé と Shaw の [BS14] がよいかもしれない。 Tropical algebraic geometry 寄りではあるが。その解説や Speyer と Sturmfels の [SS09] によると, 先駆的な仕事をした Brazil人の Imre Simon という人にちなんで, Brazil \(=\) tropical ということで, tropical という名前が付いたらしい。 どの分野に入れるの適当なのかよく分からないが, とりあえず 組み合せ論のページから link を張った。 他にも Joswig の本 [Jos22] がある。

Tropical semiring あるいは semifield という, 実数に変な積と和を定義した semiring 上で, 従来の代数をやると面白いことが分かるらしい。それにより, 様々な数学の分野が tropical化できるらしいのである。

• \(\R \cup \{-\infty \}\) で \(\max \) を和, \(+\) を積として定義される semifield \(\mathbb {T}\)

もちろん, \(\R \cup \{\infty \}\) で \(\min \) を和, \(+\) を積として定義したものを用いても, 本質的には同じである。

少し変えて, 閉区間 \([0,1]\) 上で \(\max \) を和, \(\min \) を積として定義される semiring を考えている人もいる。Nitica と Sergeev の [NS15] では, max-min semiring と呼ばれている。その論文の Introduction には, いくつかの参考文献も挙げられている。

• max-min semiring

Nitica と Sergeev は, max-min semiring を用いて tropical mathematics の真似をしようとしているようである。

この tropical semiring のような加法に関し全ての元が idempotent である semiring とその上の semimodule については, [CGQ04] がある。

Connes と Consani [CC11] は, \(1+1=1\) をみたす semiring を標数 \(1\) の semiring と呼んでいる。よって tropical semiring は標数 \(1\) である。 Connes と Consani は, このことから \(\F _1\) との関係を調べている。

もっとも, 普通に代数をやるときにはこの大量の idempotent の存在が障害となるので, それを克服するために, Izhakian [Izh09] が tropical semiring の改良を考えている。それが, Izhakian と Rowen [IR10; IR11a; IR11b] により supertropical semiring として一般化されている。更に, [IKR14] では, layered supertropical domain という一般化が考えられている。

代数的構造としては, まずはベクトル空間やアフィン空間が基本だろう。

• tropical linear algebra

そしてアフィン空間から各種空間が作られる。Tropical polytope や tropical hyperplane arrangement も考えられる。

• tropical metric geometry

射影空間の tropical版の定義は, Mikhalkin と Zharkov の [MZ08] や Ansola と de la Puenta の [AP09] などに書いてある。

• tropical projective space

より一般に, tropical algebraic variety を考えることができる。 Richter-Gebert と Sturmfels と Theobald の [RST05] は, 代数幾何学の tropical版を目指すものである。

• tropical algebraic geometry

Tropical projective space や tropical Grassmannian については, Zare の [Zar] をみるとよい。

Algebraic variety が tropical 化できると, 群の表現もtropical化できる。 Alessandrini の [Ale08] は, 群の表現の成す variety の tropical 化の試みである。

代数的な枠組みとしては, Durov の [Dur] がある。

References

[Ale08]

Daniele Alessandrini. “Tropicalization of group representations”. In: Algebr. Geom. Topol. 8.1 (2008), pp. 279–307. arXiv: math/0703608. url: https://doi.org/10.2140/agt.2008.8.279.

[AP09]

M. Ansola and M. J. de la Puente. “A note on tropical triangles in the plane”. In: Acta Math. Sin. (Engl. Ser.) 25.11 (2009), pp. 1775–1786. arXiv: math/0701222. url: http://dx.doi.org/10.1007/s10114-009-7345-y.

[BS14]

Erwan Brugallé and Kristin Shaw. “A bit of tropical geometry”. In: Amer. Math. Monthly 121.7 (2014), pp. 563–589. arXiv: 1311.2360. url: https://doi.org/10.4169/amer.math.monthly.121.07.563.

[CC11]

Alain Connes and Caterina Consani. “Characteristic 1, entropy and the absolute point”. In: Noncommutative geometry, arithmetic, and related topics. Baltimore, MD: Johns Hopkins Univ. Press, 2011, pp. 75–139. arXiv: 0911.3537.

[CGQ04]

Guy Cohen, Stéphane Gaubert, and Jean-Pierre Quadrat. “Duality and separation theorems in idempotent semimodules”. In: vol. 379. Tenth Conference of the International Linear Algebra Society. 2004, pp. 395–422. arXiv: math/0212294. url: https://doi.org/10.1016/j.laa.2003.08.010.

[Dur]

Nikolai Durov. New Approach to Arakelov Geometry. arXiv: 0704.2030.

[IKR14]

Zur Izhakian, Manfred Knebusch, and Louis Rowen. “Layered tropical mathematics”. In: J. Algebra 416 (2014), pp. 200–273. arXiv: 0912.1398. url: https://doi.org/10.1016/j.jalgebra.2014.05.019.

[IR10]

Zur Izhakian and Louis Rowen. “Supertropical algebra”. In: Adv. Math. 225.4 (2010), pp. 2222–2286. arXiv: 0806.1171. url: https://doi.org/10.1016/j.aim.2010.04.007.

[IR11a]

Zur Izhakian and Louis Rowen. “Supertropical matrix algebra”. In: Israel J. Math. 182 (2011), pp. 383–424. arXiv: 0806.1178. url: https://doi.org/10.1007/s11856-011-0036-2.

[IR11b]

Zur Izhakian and Louis Rowen. “Supertropical matrix algebra II: solving tropical equations”. In: Israel J. Math. 186 (2011), pp. 69–96. arXiv: 0902.2159. url: https://doi.org/10.1007/s11856-011-0133-2.

[Izh09]

Zur Izhakian. “Tropical arithmetic and matrix algebra”. In: Comm. Algebra 37.4 (2009), pp. 1445–1468. arXiv: math/0505458. url: https://doi.org/10.1080/00927870802466967.

[Jos22]

Michael Joswig. Essentials of tropical combinatorics. Vol. 219. Graduate Studies in Mathematics. Providence, RI: American Mathematical Society, 2022.

[MZ08]

Grigory Mikhalkin and Ilia Zharkov. “Tropical curves, their Jacobians and theta functions”. In: Curves and abelian varieties. Vol. 465. Contemp. Math. Providence, RI: Amer. Math. Soc., 2008, pp. 203–230. arXiv: math/0612267. url: http://dx.doi.org/10.1090/conm/465/09104.

[NS15]

Viorel Nitica and Sergeı̆ Sergeev. “On the dimension of max-min convex sets”. In: Fuzzy Sets and Systems 271 (2015), pp. 88–101. arXiv: 1307.2853. url: https://doi.org/10.1016/j.fss.2014.10.008.

[RST05]

Jürgen Richter-Gebert, Bernd Sturmfels, and Thorsten Theobald. “First steps in tropical geometry”. In: Idempotent mathematics and mathematical physics. Vol. 377. Contemp. Math. Providence, RI: Amer. Math. Soc., 2005, pp. 289–317. arXiv: math/0306366.

[SS09]

David Speyer and Bernd Sturmfels. “Tropical mathematics”. In: Math. Mag. 82.3 (2009), pp. 163–173. arXiv: math/0408099. url: http://dx.doi.org/10.4169/193009809X468760.

[Zar]

Hadi Zare. Tropicalisation for Topologists. arXiv: 1105.5808.