Tree

Tree, とは多角形の辺のような, 元に戻ってくる道 (circuit) の無い, 連結なグラフのことである。 正確な定義と基本的な性質については, 例えば, Serre の本 [Ser03] を見るとよい。

• forest
• tree とは連結な forest のこと
• rooted tree

Rooted tree を描くときは, root を一番下にして leaf を一番上にして描くのが普通であるが, それにより辺に向きが付き自然に quiver になる。更に, 頂点に順序が付き poset になる。 その poset の Hasse diagram が元の rooted tree になる。よって, rooted tree は, ある種の poset と同じものである。この視点は, operad の bar construction に関する Ching の [Chi05] で使われている。

Tree は, 一見何でもないものであるが, 多種多様な場面で現われる。Calaque と Ebrahimi-Fard と Manchon の [CEM11] の Introduction によると, 1889年の Cayley の Quarterly Journal of Mathematics の論文 [Cay89] で既に rooted tree が微分方程式に使われているらしい。 組み合せ論以外にも, 例えば, 次のような場面に登場する:

• operad
• \(A_{\infty }\)-algebra
• numerical analysis [But72; GL89; MW08]
• quantum field theory [Kre98; CK98]
• 計算機科学

計算機科学でよく現われるのは, 日本語で二分木と呼ばれる binary tree というものである。

• binary tree

ちょっと不思議な感じの話題としては, binary tree と \(T^2-T+1 = 0\) という2次方程式の関係がある。\(T\) を binary tree 全体の集合とすると, 自明な tree 以外は, root を取り除くと2つの binary tree に分解するので \[ T = T^2 + 1 \] が成り立つ。よって\(T^3+1 = 0\) であり \(T^6-1 = 0 \), 故に \(T^7=T\) が成り立つ。 実際, \(7\)個の binary tree の組と binary tree の間の一対一対応が, 上の計算を辿ることにより作れるのである。以上のことは, Blass の [Bla95] に書いてある。この一般化が, Fiore と Leinster [FL05] によって得られている。非常に興味深い。

Binary tree からは, complex of trees と呼ばれる simplicial complex を作ることもできる。

• complex of trees

Feichtner の [Fei06] によると, complex of trees が最初に登場したのは, Boardman の higher homotopy commutativity に関する [Boa71] のようである。

その後, complex of trees は, 様々なことに関係していることが発見されている。 例えば, 次のようなこと。

• 系統樹
• nested set complex

Complexes of trees については, Delucchi の [Del07] の Introduction や Feichtner [Fei06] をみるとよい。

Treeから作られた空間としては, 群 \(G\) の作用する tree の成す moduli space のようなもの, deformation space という空間もある。 Forester が [For02] で定義した。

• \(G\)-tree の deformation space

Culler-Vogtmann の outer space の一般化になっている点で興味深い。Forester の deformation space の一般的な性質を調べたものとして, Guirardel と Levitt の [GL07] がある。

群の tree への作用としては, 有名なのはいわゆる Bass-Serre 理論 [Ser03] である。その groupoid への一般化が, [Alv10; Alv08; VW] などで考えられている。

• Bass-Serre 理論

Tree から Hopf algebra を構成することもできる。 Quantum field theory の renormalization [Kre98] や quasisymmetric function などと関係がある。Chapoton と Frabetti の [CF11] には quantum electrodynamics から rooted planar binary tree へ至る過程が解説してある。

• rooted tree の成す Hopf algebra

Graph の braid群のコホモロジーを tree の場合に調べたものとして, Farley らの [FS08; Far07] がある。

Gorsky [Gor] は, tree から filtered chain complex を作る方法を考えている。Ozsvath と Szabo の Heegard Floer homology と関係があるようである。

References

[Alv08]

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[Alv10]

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[Bla95]

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[Boa71]

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[But72]

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[Cay89]

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[Gor]

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[Kre98]

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[Ser03]

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[VW]

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