単体的集合とその変種

単体的複体は, 単体を面に沿って貼り合せることによりできている。 その面はまた単体であり, 貼り合せは結局頂点の対応だけで決まっている。 よって何次元の単体が何個あり, どの単体の頂点がどの単体のどの頂点と対応しているかがわかれば, 元の単体的複体 (と同相なもの) は復元できる。大雑把に言えば, これを抽象化したのが単体的集合 (simplicial set) である。

単体的集合については, May の本 [May92] と Curtis の解説 [Cur71] が長らく基本的なテキストであり, また現在でもこれらは重要である。手っ取り早く学ぶためなら, Friedman の [Fri12] がある。 より新しい話題については, Goerss と Jardine の本 [GJ09] で cover されている。 単体的複体に慣れた人は [DH01] の Dwyer の §3 を読むと単体的集合の理解が深まるだろう。 未出版ではあるが, Joyal と Tierney の [JT] もある。

  • 集合列とその間の写像による単体的集合の定義
  • 小圏 \(\Delta \) から集合の圏への contravariant functor としての単体的集合

位相空間と関連づけるためには, 幾何学的実現という構成が必要になる。

よって, 幾何学的実現 \(|-|\) と singular simplicial set \(S_*(-)\) は, simplicial set と位相空間 (CW複体) の間の良い対応を与えている。 このことをより正確に述べるためには, モデル圏の言葉を用いるのがよい。 そのためには, fibrationcofibration が必要である。

  • simplicial set の inclusion は, 幾何学的実現をとると cofibration になる。
  • Kan complex の定義
  • Kan fibration の定義
  • Kan fibration の幾何学的実現は Serre fibration になる。(Quillen の [Qui68])
  • 単体的集合のホモトピー群の定義 (Kan の [Kan58a])

これらのことから, Kan fibration が「正しい」fibration であることが確認できるだろう。

モデル圏の構造は, Quillen [Qui67] によるものが標準的である。

更に, この MathOverflow の質問に対する Andrade の回答 によると, evaluation map \(|S_*(X)|\to X\) は, Serre fibration かつ weak equivalence, つまり acyclic fibration (Quillen の model structure で) になる。

ただ, 高次の圏のモデルとして simplicial set を使うときには, Kan complex の条件は不十分だと言っている人もいる。Nikolaus [Nik11] は, それを補正するためにfillerを指定した algebraic Kan complexというものを考えている。

Kan complex は, simplicial set のホモトピー群を定義するときにも使われる。

  • simplicial set のホモトピー群

このような抽象的な定義や結果だけでなく, 具体的に 位相空間に対する種々の構成の類似が simplicial set に対して何になるかも知っておくべきである。例えば, loop space など。

Singular simplicial set 以外の simplicial set の例についても, できるだけたくさん知っておいた方がよい。

幾何学的実現は, より一般に simplicial space に対して定義できることに注意する。Simplicial set に慣れたら, このような より一般の simplicial object を扱うのも難しくないだろう。

Simplicial set に対しては, chain complex を作ることができる。Simplicial set で生成される自由Abel群をとると simplicial Abelian group ができるが, その Moore complex を取ればよい。Karoubi は [Kar] で, より詳しい情報を持つ quasi-commutative differential graded algebra というものを対応させることを考えている。その algebraic な data から元の simplicial set の geometric realization の homotopy type が復元できる, らしい。

Simplicial set の直積や simplicial set の圏の simplicial object を考えるときには, bisimplicial object が必要になる。 これは simplicial object の定義域の圏 \(\Delta \) を \(\Delta \times \Delta \) に変えただけであるが, \(\Delta \) を他の small category に取り替えたものは色々考えられている。

Singular simplicial set \(S_*(X)\) の例からも分かるように, simplicial set はその幾何学的実現として得られるCW複体よりも“単体が多い”。 つまり余分な単体が多く含まれている。 まず不要なのは degenerate な単体である。K.S. Brown は, [Bro92] において essential simplex の概念を導入した。

  • degenerate な単体
  • simplicial set の幾何学的実現は, degenerate でない単体に対応する胞体から成るCW複体の構造を持つ
  • collapsing scheme の定義
  • collapsing scheme を持つ simplicial set に対し, その幾何学的実現とホモトピー同値で, essential simplex と一対一に対応する胞体を持つ CW複体が存在する。

Collapsing scheme をもつ simplicial set とCW複体の対応を functorial にしたのが, Citterio の結果 [Cit02] である。Citterio は, small category の分類空間への応用などを考えている。

Simplicial complex の face poset に対応するものとして, simplex category がある。 Goerss と Jardine の本 [GJ09] では, simplicial set の細分を定義するために用いられている。Chacholsky と Scherer の [CS08] でも用いられている。

  • simplex category
  • simplicial set の細分
  • Kan の Ex functor

Quick は [Qui11] で, profinite set の category での simplicial object を考え, profinite space と呼んでいる。正確には, simplicial profinite set と呼ぶべきだろう。

  • simplicial profinite set

Mac Lane と Moerdijk の本 [MM94] の第VIII章8節では, simplicial set の圏が linear order を分類する classifying topos であることが示されている。

  • simplicial set の圏は linear order の classifying topos

Simplicial set の高次の圏への応用としては, 最近 Lurie らにより derived algebraic geometry などで使われている quasicategory (weak Kan complex) がある。

もう一つの重要な応用として, Voevodsky の発見した homotopy type theory がある。

References

[Bro92]

Kenneth S. Brown. “The geometry of rewriting systems: a proof of the Anick-Groves-Squier theorem”. In: Algorithms and classification in combinatorial group theory (Berkeley, CA, 1989). Vol. 23. Math. Sci. Res. Inst. Publ. New York: Springer, 1992, pp. 137–163. url: http://dx.doi.org/10.1007/978-1-4613-9730-4_6.

[Cit02]

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[CS08]

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[Cur71]

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[DH01]

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[GJ09]

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[May92]

J. Peter May. Simplicial objects in algebraic topology. Chicago Lectures in Mathematics. Reprint of the 1967 original. Chicago, IL: University of Chicago Press, 1992, pp. viii+161. isbn: 0-226-51181-2.

[MM94]

Saunders Mac Lane and Ieke Moerdijk. Sheaves in geometry and logic. Universitext. A first introduction to topos theory, Corrected reprint of the 1992 edition. New York: Springer-Verlag, 1994, pp. xii+629. isbn: 0-387-97710-4.

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[Qui11]

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[Qui67]

Daniel G. Quillen. Homotopical algebra. Lecture Notes in Mathematics, No. 43. Berlin: Springer-Verlag, 1967, iv 156 pp. (not consecutively paged).

[Qui68]

Daniel G. Quillen. “The geometric realization of a Kan fibration is a Serre fibration”. In: Proc. Amer. Math. Soc. 19 (1968), pp. 1499–1500. url: https://doi.org/10.2307/2036240.