Skeleton and Coskeleton of Simplicial Set

Simplicial set を simplicial complex の一般化とみなすと, skeleton を考えたくなる。

\([0],\ldots ,[n]\) から成る \(\Delta \) の full subcategory \(\Delta _{\le n}\) の包含 \(i_{n}:\Delta _{\le n}\hookrightarrow \Delta \) から誘導される関手 \[ i_{n}^{*}:\category {Set}^{\Delta ^{\op }} \rarrow {} \category {Set}^{\Delta _{\le n}^{\op }} \] の left Kan extension (と \(i_{n}^{*}\) の合成) として定義される。

• simplicial set の skeleton

もちろん right Kan extension もあり, coskeleton と呼ばれる。 Coskeleton は, 例えば, étale homotopy theory などで使われる hypercover で必要になる。

• simplicial set の coskeleton

Coskeleton については, Goerss と Jardine の [GJ09] に書かれているが, Brian Conrad の [Con] も見るとよい。

単に Kan extension で定義されているだけなので, limit や colimit で閉じている圏の simplicial object に対しても当然定義される。

References

[Con]

Brian Conrad. Cohomological Descent. url: https://math.stanford.edu/~conrad/papers/hypercover.pdf.

[GJ09]

Paul G. Goerss and John F. Jardine. Simplicial homotopy theory. Modern Birkhäuser Classics. Reprint of the 1999 edition [MR1711612]. Birkhäuser Verlag, Basel, 2009, pp. xvi+510. isbn: 978-3-0346-0188-7. url: https://doi.org/10.1007/978-3-0346-0189-4.