Semigroup

Semigroup という言葉は, 文献によっては, monoid と同じ意味で使われることもあるのでややこしい。ここでは monoid よりさらに条件を弱め, 単位元の存在を仮定しないものを semigroup と呼ぶことにする。

一般的な解説としては, Cain の lecture note [Cai] がある。

単位元はなくても「逆元」は定義できる。全ての元が「逆元」を持つ semigroup を inverse semigroup という。

• inverse semigroup

Semigroup の \(C^*\)-algebra は, Li が [Li12] で考えている。

• semigroup の \(C^*\)-algebra

このように, semigroup は関数解析的な視点からよく研究されている。そのため, quantum group の semigroup 版も関数解析的に定義されている。

• compact quantum semigroup

トポロジーと関係がある inverse monoid として Easdown と Lavers の [EL04] で構成された inverse braid monoid というものがあるが, それ以外にも, トポロジーに関連した semigroup として (left regular) band というものがある。

• band

Semigroup からは semigroup ring が作られる。

• semigroup ring

Semigroup や monoid の 表現論というものも研究されているようである。

• semigroup や monoid の表現論

Cayley graph も定義される。Knauer と Knauer の [KK16] など。

• semigroup の Cayley graph

Semigroup からは, Green [Gre51] の方法により preordered set が定義される。

• semigroup の preordered set

2つの積を持ち, それぞれがお互いに準同型になっているものを double semigroup と言うようである。

• double semigroup

古典的な代数的トポロジーを勉強したことがある人は, この条件を見たとき Hilton-Eckmann argument を思い出すだろう。つまり, monoid になっている2つの積を持ち, お互いに準同型になっているなら, その2つの積は一致し可換になる, という事実である。 ここで, 単位元があるというのが重要で, 逆に double semigroup を考える際には, Bremner と Madariaga [BM16] のように, 単位元を持たないものを考えないと意味がない。

部分集合に値を持つ, multisemigroup という構造を考えている人 [KM] もいる。Mazurchuk と Miemietz [MM14] は, additive \(2\)-category の構造を考えるときに現われる, と言っている。

• multisemigroup

Kudryavtsova と Mazurchuk [KM] は Viro の [Vir] を参照している。これは, tropical geometry に関するものである。

References

[BM16]

Murray Bremner and Sara Madariaga. “Permutation of elements in double semigroups”. In: Semigroup Forum 92.2 (2016), pp. 335–360. arXiv: 1405.2889. url: https://doi.org/10.1007/s00233-015-9711-7.

[Cai]

Alan J. Cain. Nine Chapters on the Semigroup Art. url: http://www-groups.mcs.st-andrews.ac.uk/~alanc/pub/c_semigroups/index.html.

[EL04]

D. Easdown and T. G. Lavers. “The inverse braid monoid”. In: Adv. Math. 186.2 (2004), pp. 438–455. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.aim.2003.07.014.

[Gre51]

J. A. Green. “On the structure of semigroups”. In: Ann. of Math. (2) 54 (1951), pp. 163–172. url: https://doi.org/10.2307/1969317.

[KK16]

Kolja Knauer and Ulrich Knauer. “On planar right groups”. In: Semigroup Forum 92.1 (2016), pp. 142–157. arXiv: 1309.5236. url: https://doi.org/10.1007/s00233-015-9688-2.

[KM]

Ganna Kudryavtseva and Volodymyr Mazorchuk. On multisemigroups. arXiv: 1203.6224.

[Li12]

Xin Li. “Semigroup \(\mathrm {C}^*\)-algebras and amenability of semigroups”. In: J. Funct. Anal. 262.10 (2012), pp. 4302–4340. arXiv: 1105.5539. url: https://doi.org/10.1016/j.jfa.2012.02.020.

[MM14]

Volodymyr Mazorchuk and Vanessa Miemietz. “Additive versus abelian 2-representations of fiat 2-categories”. In: Mosc. Math. J. 14.3 (2014), pp. 595–615, 642. arXiv: 1112.4949.

[Vir]

Oleg Viro. Hyperfields for Tropical Geometry I. Hyperfields and dequantization. arXiv: 1006.3034.