Semigroup という言葉は, 文献によっては, monoid と同じ意味で使われることもあるのでややこしい。ここでは monoid
よりさらに条件を弱め, 単位元の存在を仮定しないものを semigroup と呼ぶことにする。
一般的な解説としては, Cain の lecture note [Cai] がある。
単位元はなくても「逆元」は定義できる。全ての元が「逆元」を持つ semigroup を inverse semigroup
という。Vershinin の [Ver09] によると, 最初に考えたのは V.V. Wagner という人 (1952年ロシア語) らしい。 当然,
群に近い性質を持つことが期待される。
- semigroup における逆元
- inverse semigroup
Inverse semigroup については, Resende の [Res07] の §2.3 に簡単にまとめられている。そこでは, inverse
semigroup については, [Law98] と [Pat99] が参考文献として挙げられている。 Paterson の本によると, inverse
semigroup は \(C^*\)-algebra にとって groupoid と並んで重要なもののようである。 より一般の semigroup の \(C^*\)-algebra
についても Li [Li] で考えている。
このように, semigroup は関数解析的な視点からよく研究されている。そのため, quantum group の semigroup
版も関数解析的に定義されている。
Jones と Lawson [JL] によると, Cuntz-Krieger algebra や Leavitt path algebra などに関連して,
graph inverse semigroup というものも考えられている。
Lawson の [Law11] によると, Wagner により考えられた generalized heap という代数的構造は, inverse
semigroup を考えるために重要なもののようである。彼は, それにより inverse semigroup のMorita同値を定義している。
- inverse semigroup の Morita同値
Schwab は, [Sch04a; Sch04b; Sch09; SV] で, small category の Euler標数との関係を調べている。
Inverse semigroup に対して idempotent を object として small category を構成することは, 他にも
Loganathan [Log81] により考えられている。 その動機は, Lausch による inverse semigroup の
cohomology を small category の cohomology として表すことだった。その後, Loganathan の category
を用いて inverse semigroup の classifying topos が定義されている。 これについては, Kudryavtseva と
Škraba の [KŠ] の Introduction で挙げられている文献を見るとよい。
- inverse semigroup の cohomology
- inverse semigroup の Loganathan category
- inverse semigroup の classifying topos
有限群の基本的な例が対称群であるように, inverse semigroup の基本は, partial permutation の成す inverse
semigroup (symmetric inverse monoid) である。
- partial permutation
- 有限集合上のsymmetric inverse monoid
対称群と関連の深い群として braid群 があるが, 対応して inverse braid monoid も存在する。Easdown と Lavers
の [EL04] で構成された。Vershinin の [Ver09] で braid 群の様々な性質の類似が成り立つことが示されている。
Inverse braid monoid も含めた inverse monoid の構成については, category theory 的なアプローチ
[KM08] もある。
Inverse braid monoid 以外にも, トポロジーに関連した semigroup として (left regular) band
というものがある。
Semigroup からは semigroup ring が作られる。
Semigroup や monoid の 表現論というものも研究されているようである。
Cayley graph も定義される。Knauer と Knauer の [KK] など。
Semigroup からは, Green [Gre51] の方法により preordered set が定義される。
- semigroup の preordered set
2つの積を持ち, それぞれがお互いに準同型になっているものを double semigroup と言うようである。
古典的な代数的トポロジーを勉強したことがある人は, この条件を見たとき Hilton-Eckmann argument
を思い出すだろう。つまり, monoid になっている2つの積を持ち, お互いに準同型になっているなら, その2つの積は一致し可換になる,
という事実である。 ここで, 単位元があるというのが重要で, 逆に double semigroup を考える際には, Bremner と
Madariaga [BM] のように, 単位元を持たないものを考えないと意味がない。
部分集合に値を持つ, multisemigroup という構造を考えている人 [KM] もいる。Mazurchuk と Miemietz
[MM14] は, additive \(2\)-category の構造を考えるときに現われる, と言っている。
Kudryavtsova と Mazurchuk [KM] は Viro の [Vir] を参照している。これは, tropical geometry
に関するものである。
References
-
[BM]
-
Murray Bremner and Sara Madariaga. Permutation of elements in
double semigroups. arXiv: 1405.2889.
-
[Cai]
-
Alan J. Cain. Nine Chapters on the Semigroup Art. url: http://www-groups.mcs.st-andrews.ac.uk/~alanc/pub/c_semigroups/index.html.
-
[EL04]
-
D. Easdown and T. G. Lavers. “The inverse braid monoid”. In: Adv.
Math. 186.2 (2004), pp. 438–455. url:
http://dx.doi.org/10.1016/j.aim.2003.07.014.
-
[Gre51]
-
J. A. Green. “On the structure of semigroups”. In: Ann. of Math. (2)
54 (1951), pp. 163–172. url: https://doi.org/10.2307/1969317.
-
[JL]
-
David G. Jones and Mark V. Lawson. Graph inverse semigroups:
their characterization and completion. arXiv: 1106.3644.
-
[KK]
-
Kolja Knauer and Ulrich Knauer. On planar right groups. arXiv:
1309.5236.
-
[KM]
-
Ganna Kudryavtseva and Volodymyr Mazorchuk. On
multisemigroups. arXiv: 1203.6224.
-
[KM08]
-
Ganna Kudryavtseva and Volodymyr Mazorchuk. “Partialization of
categories and inverse braid-permutation monoids”. In: Internat. J.
Algebra Comput. 18.6 (2008), pp. 989–1017. arXiv: math/0610730.
url: https://doi.org/10.1142/S0218196708004731.
-
[KŠ]
-
Ganna Kudryavtseva and Primož Škraba. The principal bundles over
an inverse semigroup. arXiv: 1503.08560.
-
[Law11]
-
M. V. Lawson. “Generalized heaps, inverse semigroups and Morita
equivalence”. In: Algebra Universalis 66.4 (2011), pp. 317–330. arXiv:
1104.2458. url: http://dx.doi.org/10.1007/s00012-011-0162-z.
-
[Law98]
-
Mark V. Lawson.
Inverse semigroups. The theory of partial symmetries. River Edge,
NJ: World Scientific Publishing Co. Inc., 1998, pp. xiv+411. isbn:
981-02-3316-7. url: http://dx.doi.org/10.1142/9789812816689.
-
[Li]
-
Xin Li. Semigroup \(C^*\)-algebras and amenability of semigroups. arXiv:
1105.5539.
-
[Log81]
-
M. Loganathan. “Cohomology
of inverse semigroups”. In: J. Algebra 70.2 (1981), pp. 375–393. url:
http://dx.doi.org/10.1016/0021-8693(81)90225-8.
-
[MM14]
-
Volodymyr Mazorchuk and Vanessa Miemietz. “Additive versus
abelian 2-representations of fiat 2-categories”. In: Mosc. Math. J. 14.3
(2014), pp. 595–615, 642. arXiv: 1112.4949.
-
[Pat99]
-
Alan L. T. Paterson. Groupoids, inverse semigroups, and their
operator algebras. Vol. 170. Progress in Mathematics. Birkhäuser
Boston, Inc., Boston, MA, 1999, pp. xvi+274. isbn: 0-8176-4051-7.
url: http://dx.doi.org/10.1007/978-1-4612-1774-9.
-
[Res07]
-
Pedro Resende. “Étale groupoids and their quantales”. In: Adv.
Math. 208.1 (2007), pp. 147–209. arXiv: math/0412478. url:
http://dx.doi.org/10.1016/j.aim.2006.02.004.
-
[Sch04a]
-
Emil Daniel Schwab. “Möbius
categories as reduced standard division categories of combinatorial
inverse monoids”. In: Semigroup Forum 69.1 (2004), pp. 30–40. url:
https://doi.org/10.1007/s00233-004-0112-6.
-
[Sch04b]
-
Emil Daniel Schwab. “The Möbius category of some combinatorial
inverse semigroups”. In: Semigroup Forum 69.1 (2004), pp. 41–50.
url: https://doi.org/10.1007/s00233-004-0113-5.
-
[Sch09]
-
Emil Daniel Schwab. “The Möbius category of a combinatorial
inverse monoid with zero”. In: Ann. Sci. Math. Québec 33.1 (2009),
pp. 93–113.
-
[SV]
-
Emil Daniel Schwab and Juan Villarreal. The Computation of the
Möbius Function of a Möbius Category. arXiv: 1210.7697.
-
[Ver09]
-
V. V. Vershinin. “On the inverse braid monoid”. In: Topology
Appl. 156.6 (2009), pp. 1153–1166. arXiv: 0704.3002. url:
http://dx.doi.org/10.1016/j.topol.2008.10.007.
-
[Vir]
-
Oleg Viro. Hyperfields for Tropical Geometry I. Hyperfields and
dequantization. arXiv: 1006.3034.
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