Quiver やそれに関連した構造に対するホモトピー論的な概念

Quiver (directed graph) と small category の類似性, そして path algebra と nerve の構成の類似性から, 位相空間に対するホモトピー論的な概念を quiver などに拡張しようというのは, 自然なアイデアである。もっとも, そのような試みは small category のホモトピー論を意識せずに行なわれてきたようであるが。

Bongartz と Gabriel は, [BG82] で, translation-quiver に対し, その基本群covering の概念を考察している。Covering は Riedtmann が Auslander-Reiten quiver に対し定義したものが元になっている ようである。

  • translation-quiver
  • translation-quiver \((\Gamma ,\tau )\) とその頂点 \(x\) に対し, \(x\) を基点とする \((\Gamma ,\tau )\) の基本群 \(\Pi _1(\Gamma ,\tau ,x)\)
  • translation-quiver の covering
  • translation-quiver の universal covering
  • translation-quiver \((\Gamma ,\tau )\) の geometric realization \(|\Gamma ,\tau |\)
  • translation-quiver \((\Gamma ,\tau )\) に対し自然な同型がある: \[ \pi _1(|\Gamma ,\tau |,x) \cong \Pi _1(\Gamma ,\tau ,x) \]

一般の quiver に対しても, path algebra の admissible ideal を指定すれば基本群が定義できる。それについては, [Peñ86; Gre83; Rey03; Bus04; BC06] といった文献がある。Bustamante は quiver \(Q\) と admissible ideal \(I\) の組 \((Q,I)\) を bound quiver と呼んでいる。 この中でトポロジーの基本群との関係を述べたのが, Reynaud [Rey03] と Bustamante [Bus04] の結果である。

  • bound quiver \((Q,I)\) の定義
  • bound quiver \((Q,I)\) に対し, 基本群 \(\Pi _1(Q,I)\) の定義
  • quiver \(Q\) の path algebra の parallel ideal \(I_Q\) の定義
  • simplicial complex \(K\) に対し, 単体の inclusion から成る poset を \(F(K)\) とおき quiver とみなすと \[ \pi _1(|K|) \cong \Pi _1(F(K),I_{F(K)}) \]
  • bound quiver \((Q,I)\) に対し, その分類空間 \(B(Q,I)\) の構成 [Bus04]
  • \(\pi _1(B(Q,I))\cong \pi _1(Q,I)\)

そして \(k\)-linear category に対しても基本群と被覆の理論は考えられている。

他にquiverに関連したもので基本群が定義できるものとしては, Paris の導入した oriented system がある。

高次ホモトピー群としては, Grigor\('\)yan, Lin, Muranov, Yau が [Gri+14] で導入したものがある。quiver に対して「ループ空間」を定義し, \(n-1\) 回ループを取ったものの基本群として \(n\) 次ホモトピー群を定義している。 これは, 彼等が [Gri+] で導入した quiver のホモロジー群のアイデアに基づくものである。

  • quiver の path homology
  • quiver のホモトピー群

また, 彼等は Babson らが [Bar+01] や [Bab+06] で開発した, グラフのホモトピー論の拡張になっていると主張している。

Grigor\('\)yan らの枠組みで, McGuirk と Park [MP] が Brown の表現定理が成り立つことを示している。 かなり通常のホモトピー論に近いことができそうである。

Grigor\('\)yan らの path homology の persistent 版 が [CM18] で考えられている。

(コ)ホモロジーとしては, 他にも Turner と Wagner の [TW12] で導入されたものがある。 Caputi と Collari と Di Trani の [CCT] では multipath cohomology と呼ばれている。

  • multipath cohomology

References

[Bab+06]

Eric Babson, Hélène Barcelo, Mark de Longueville, and Reinhard Laubenbacher. “Homotopy theory of graphs”. In: J. Algebraic Combin. 24.1 (2006), pp. 31–44. arXiv: math / 0403146. url: http://dx.doi.org/10.1007/s10801-006-9100-0.

[Bar+01]

Hélène Barcelo, Xenia Kramer, Reinhard Laubenbacher, and Christopher Weaver. “Foundations of a connectivity theory for simplicial complexes”. In: Adv. in Appl. Math. 26.2 (2001), pp. 97–128. url: http://dx.doi.org/10.1006/aama.2000.0710.

[BC06]

Juan Carlos Bustamante and Diane Castonguay. “Fundamental groups and presentations of algebras”. In: J. Algebra Appl. 5.5 (2006), pp. 549–562. arXiv: math/0405127. url: http://dx.doi.org/10.1142/S021949880600179X.

[BG82]

K. Bongartz and P. Gabriel. “Covering spaces in representation-theory”. In: Invent. Math. 65.3 (1981/82), pp. 331–378. url: http://dx.doi.org/10.1007/BF01396624.

[Bus04]

Juan Carlos Bustamante. “The classifying space of a bound quiver”. In: J. Algebra 277.2 (2004), pp. 431–455. arXiv: math/0305338. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.jalgebra.2004.02.024.

[CCT]

Luigi Caputi, Carlo Collari, and Sabino Di Trani. Multipath cohomology of directed graphs. arXiv: 2108.02690.

[CM18]

Samir Chowdhury and Facundo Mémoli. “Persistent path homology of directed networks”. In: Proceedings of the Twenty-Ninth Annual ACM-SIAM Symposium on Discrete Algorithms. SIAM, Philadelphia, PA, 2018, pp. 1152–1169. arXiv: 1701.00565. url: https://doi.org/10.1137/1.9781611975031.75.

[Gre83]

Edward L. Green. “Graphs with relations, coverings and group-graded algebras”. In: Trans. Amer. Math. Soc. 279.1 (1983), pp. 297–310. url: http://dx.doi.org/10.2307/1999386.

[Gri+]

Alexander Grigor’yan, Yong Lin, Yuri Muranov, and Shing-Tung Yau. Homologies of path complexes and digraphs. arXiv: 1207.2834.

[Gri+14]

Alexander Grigor’yan, Yong Lin, Yuri Muranov, and Shing-Tung Yau. “Homotopy theory for digraphs”. In: Pure Appl. Math. Q. 10.4 (2014), pp. 619–674. arXiv: 1407.0234. url: https://doi.org/10.4310/PAMQ.2014.v10.n4.a2.

[MP]

Zachary McGuirk and Byungdo Park. Brown representability for directed graphs. arXiv: 2003.07426.

[Peñ86]

J. A. de la Peña. “On the abelian Galois coverings of an algebra”. In: J. Algebra 102.1 (1986), pp. 129–134. url: http://dx.doi.org/10.1016/0021-8693(86)90131-6.

[Rey03]

Eric Reynaud. “Algebraic fundamental group and simplicial complexes”. In: J. Pure Appl. Algebra 177.2 (2003), pp. 203–214. url: http://dx.doi.org/10.1016/S0022-4049(02)00071-3.

[TW12]

Paul Turner and Emmanuel Wagner. “The homology of digraphs as a generalization of Hochschild homology”. In: J. Algebra Appl. 11.2 (2012), pp. 1250031, 13. arXiv: 1001 . 5379. url: https://doi.org/10.1142/S0219498811005555.