Small categoryやlinear categoryの被覆空間

Small category の被覆空間については, 何人もの人が考えている。代数的な面からは, associative algebra の被覆を考えるために, \(k\)-linear category の被覆が考えられている。 例えば, \(k\)-linear category の場合は, Cibils と Marcos の free action に関する Galois covering [CM06], Asashiba の \(G\)-covering [Asa11] など, enrich されていない場合は, Tanaka の [Tan13] などがある。

Small category の場合は, 分類空間があるのでかなり位相空間と近いことができる。 例えば, Tanaka [Tan13] は, model categoryの構造を用いているし, Cibils と MacQuarrie [CM] は, fundamental groupoid の covering と同一視できることを示している。

\(k\)-linear, つまり \(k\)-module の category で enrich された場合は, universal covering が存在しない場合があるなど, かなり様子が異なる。その研究の始まりは, 80年代の Waschbüsch [Was81] や Green [Gre83] の relation の入った quiver に対する covering のようである。

• bound quiver の基本群や被覆

Bustamante [Bus04] は, bound quiver に対する分類空間の構成を考えたが, それを \(k\)-linear categoryに一般化したものを, Cibils と Redondo と Solotar [CRS11] が定義している。

Cibils らは, 他にも色々 category の coveringを調べている。 Galois covering に対する Cartan-Leray spectral sequence の類似が Cibils と Redondo の [CR05] で構成されている。Herscovich と Solotar は [HS07] で, Hopf algebra \(H\) に対し, \(k\)-linear category の \(H\)-Galois extension を定義し, それに対する同様の spectral sequence を構成している。

Covering に関連して, 群の作用も色々調べられている。Hopf algebra の作用への一般化も考えられている。

• 群の圏への作用
• Hopf algebra の linear category への作用

より elementary な場合として, poset の covering を考えているのは, Barmak と Minian [BM] である。 当然, 組み合せ論的な記述になる。

References

[Asa11]

Hideto Asashiba. “A generalization of Gabriel’s Galois covering functors and derived equivalences”. In: J. Algebra 334 (2011), pp. 109–149. arXiv: 0807.4706. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.jalgebra.2011.03.002.

[BM]

Jonathan Ariel Barmak and Elias Gabriel Minian. \(G\)-colorings of posets, coverings and presentations of the fundamental group. arXiv: 1212.6442.

[Bus04]

Juan Carlos Bustamante. “The classifying space of a bound quiver”. In: J. Algebra 277.2 (2004), pp. 431–455. arXiv: math/0305338. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.jalgebra.2004.02.024.

[CM]

Claude Cibils and John MacQuarrie. Gradings, smash products and Galois coverings of a small category. arXiv: 1203.5905.

[CM06]

Claude Cibils and Eduardo N. Marcos. “Skew category, Galois covering and smash product of a \(k\)-category”. In: Proc. Amer. Math. Soc. 134.1 (2006), 39–50 (electronic). arXiv: math/0312214. url: http://dx.doi.org/10.1090/S0002-9939-05-07955-4.

[CR05]

Claude Cibils and Marı́a Julia Redondo. “Cartan-Leray spectral sequence for Galois coverings of linear categories”. In: J. Algebra 284.1 (2005), pp. 310–325. arXiv: math/0305218. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.jalgebra.2004.06.012.

[CRS11]

Claude Cibils, Marı́a Julia Redondo, and Andrea Solotar. “Fundamental group of Schurian categories and the Hurewicz isomorphism”. In: Doc. Math. 16 (2011), pp. 581–595. arXiv: 1010.6296.

[Gre83]

Edward L. Green. “Graphs with relations, coverings and group-graded algebras”. In: Trans. Amer. Math. Soc. 279.1 (1983), pp. 297–310. url: http://dx.doi.org/10.2307/1999386.

[HS07]

Estanislao Herscovich and Andrea Solotar. “Hochschild-Mitchell cohomology and Galois extensions”. In: J. Pure Appl. Algebra 209.1 (2007), pp. 37–55. arXiv: math/0510160. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.jpaa.2006.05.012.

[Tan13]

Kohei Tanaka. “A model structure on the category of small categories for coverings”. In: Math. J. Okayama Univ. 55 (2013), pp. 95–116. arXiv: 0907.5339.

[Was81]

Josef Waschbüsch. “Universal coverings of self-injective algebras”. In: Representations of algebras (Puebla, 1980). Vol. 903. Lecture Notes in Math. Springer, Berlin-New York, 1981, pp. 331–349.