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Quiver (directed graph) の (コ)ホモロジーを定義する方法は色々ある。 例えば, quiver から algebra
を構成する方法は色々あるので, それらの algebra の(コ)ホモロジーを考えることができる。 他にも quiver から 単体的複体を作れば,
その単体的ホモロジーを使うことができる。
最近よく目にするのは, Grigor\('\)yan ら [Gri+; Gri+16] の path homology である。様々な人が様々な方向への拡張を考えている。
- path homology
- path homology の persistent 版 (Chowdhury と Mémoli の [CM18])
- directed hypergraph への拡張 (Muranov らの [MSV22])
- weighted quiver への拡張 (Wang, Ren, Wu, Lin の [Lin+])
- weighted directed hypergraph への拡張 (Muranov らの [MSV23])
Quiver の path を使ったものとしては, 次のものもある。
- Turner と Wagner のもの [TW12]
- Caputi と Collari と Di Trani の multipath cohomology [CCD24; CCD23]
Turner と Wagner のものは, quiver から multipath の成す poset を作り, それを small
category と見做して functor homology を取ったものである。 Caputi らのものは, multipath
poset を作るところまでは同じであるが, poset の homology として Chandler のもの [Cha19; Cha]
を使っている。
向きの付いていないグラフに対しては, 様々な 多項式不変量が定義され, それらの categorification として,
homology が色々定義されているので, quiver の underlying graph に対し, それらの homology
を適用することもできる。
他にも次のようなものがある。
- Dimakis と Müller-Hoissen のもの [DM94a; DM94b]
- persistent Hochschild homology [CR24]
References
-
[CCD23]
-
Luigi Caputi, Carlo Collari, and Sabino Di Trani. “Combinatorial and
topological aspects of path posets, and multipath cohomology”. In:
J. Algebraic Combin. 57.2 (2023), pp. 617–658. arXiv: 2110.11206.
url: https://doi.org/10.1007/s10801-022-01180-9.
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[CCD24]
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Luigi Caputi, Carlo Collari, and Sabino
Di Trani. “Multipath cohomology of directed graphs”. In: Algebr.
Geom. Topol. 24.8 (2024), pp. 4373–4421. arXiv: 2108.02690. url:
https://doi.org/10.2140/agt.2024.24.4373.
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[Cha]
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1911.05600.
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[Cha19]
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Alex Chandler. On Thin Posets and Categorification. Thesis
(Ph.D.)–North Carolina State University. ProQuest
LLC, Ann Arbor, MI, 2019, p. 102. isbn: 978-1392-60821-0. url:
http://www.lib.ncsu.edu/resolver/1840.20/36551.
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[CM18]
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Annual ACM-SIAM Symposium on Discrete Algorithms. SIAM,
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https://doi.org/10.1137/1.9781611975031.75.
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[CR24]
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Luigi Caputi and Henri Riihimäki. “Hochschild homology, and
a persistent approach via connectivity digraphs”. In: J. Appl.
Comput. Topol. 8.5 (2024), pp. 1121–1170. arXiv: 2204.00462. url:
https://doi.org/10.1007/s41468-023-00118-9.
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[DM94b]
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url: https://doi.org/10.1063/1.530638.
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[Gri+]
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Alexander Grigor’yan, Yong Lin, Yuri Muranov, and Shing-Tung
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[Gri+16]
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A. A. Grigor\('\)yan, Ĭong Lin, Yu. V. Muranov, and Shintan Yau.
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(2016), pp. 79–128.
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[Lin+]
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Yong Lin, Shiquan Ren, Chong Wang, and Jie Wu. Weighted Path
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[MSV22]
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[MSV23]
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Yuri Muranov, Anna Szczepkowska, and Vladimir Vershinin.
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https://doi.org/10.4171/pm/2098.
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[TW12]
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Paul Turner and Emmanuel Wagner. “The homology of digraphs
as a generalization of Hochschild homology”. In: J. Algebra
Appl. 11.2 (2012), pp. 1250031, 13. arXiv: 1001.5379. url:
https://doi.org/10.1142/S0219498811005555.
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