Homology Theories of Quivers

Quiver (directed graph) の(コ)ホモロジーを定義する方法は色々ある。 例えば, quiver から algebra を構成する方法は色々あるので, それらの algebra の(コ)ホモロジーを考えることができる。 他にも quiver から単体的複体を作れば, その単体的ホモロジーを使うことができる。

最近よく目にするのは, Grigor\('\)yan ら [Gri+] の path homology である。彼等は [CM18] で persistent 版も考えている。

• path homology
• path homology の persistent 版

Quiver の path を使ったものとしては, 次のものもある。

• Turner と Wagner のもの [TW12]
• Caputi と Collari と Di Trani の multipath cohomology [CCT; CCD23]

Turner と Wagner のものは, quiver から multipath の成す poset を作り, それを small category と見做して functor homology を取ったものである。 Caputi らのものは, multipath poset を作るところまでは同じであるが, poset の homology として Chandler のもの [Cha] を使っている。

• multipath poset

向きの付いていないグラフに対しては, 様々な多項式不変量が定義され, それらの categorification として, homology が色々定義されているので, quiver の underlying graph に対し, それらの homology を適用することもできる。

References

[CCD23]

Luigi Caputi, Carlo Collari, and Sabino Di Trani. “Combinatorial and topological aspects of path posets, and multipath cohomology”. In: J. Algebraic Combin. 57.2 (2023), pp. 617–658. arXiv: 2110.11206. url: https://doi.org/10.1007/s10801-022-01180-9.

[CCT]

Luigi Caputi, Carlo Collari, and Sabino Di Trani. Multipath cohomology of directed graphs. arXiv: 2108.02690.

[Cha]

Alex Chandler. Thin Posets, CW Posets, and Categorification. arXiv: 1911.05600.

[CM18]

Samir Chowdhury and Facundo Mémoli. “Persistent path homology of directed networks”. In: Proceedings of the Twenty-Ninth Annual ACM-SIAM Symposium on Discrete Algorithms. SIAM, Philadelphia, PA, 2018, pp. 1152–1169. arXiv: 1701.00565. url: https://doi.org/10.1137/1.9781611975031.75.

[Gri+]

Alexander Grigor’yan, Yong Lin, Yuri Muranov, and Shing-Tung Yau. Homologies of path complexes and digraphs. arXiv: 1207.2834.

[TW12]

Paul Turner and Emmanuel Wagner. “The homology of digraphs as a generalization of Hochschild homology”. In: J. Algebra Appl. 11.2 (2012), pp. 1250031, 13. arXiv: 1001 . 5379. url: https://doi.org/10.1142/S0219498811005555.