Quandle

Quandle とは, Eisermann の [Eis14] によると, 群の conjugation を抽象化した代数的構造であり, rack の特別なものである。 D. Joyce [Joy82] と Matveev [Mat82] により独立に導入されたものらしい。この2編の論文のタイトルからも分かるように, もともと結び目の理論へ応用するために考えられたものである。 それ以外にも様々な分野に応用があり, 様々な一般化も考えられている。

代表的な例は, 群が自分自身に conjugation で作用することにより得られるものである。 他に群から作られるものとしては, 群 \(G\) の automorphism \(\varphi \) が与えられたとき \(g\lhd h=\varphi (gh^{-1})h\) で定義されるものがある。 Bardakov, Dey, Singh の [BDS] では generalized Alexander quandle と呼ばれている。Joyce の論文や Clark らの [Cla+; CSV] に現れる。Bardakov らはその automorphism group を調べている。

逆に, quandle から群を作ることもできる。Akita の [Aki] では, Eisermann の [Eis14] と Nosaka の [Nosa] が参照されている。

  • adjoint group

上記の Eisermann の論文 [Eis14] は, quandle の被覆空間の理論を構築しようという試みである。 その motivation は quandle の(コ)ホモロジーを調べることにある。

Knot や link の不変量として, quandle の cyclce を用いたものがある。Kabaya [Kab12] や Nosaka [Nosb] らにより, Dijkgraaf-Witten invariant との関係が調べられている。

Majid と Rietsch [MR] は, 集合の圏での “Lie algebra” として, IP (inverse property) quandle という種類の quandle を導入している。 それを使うと群の covering が定義できるようである。

位相の入った topological quandle も考えられている。Rubinsztein [Rub] によると, これも knot や link を調べるのに使えるようである。 Khovanov homology と knot の complement の基本群の \(\mathrm{SU}(2)\)-representation の成す空間の singular homology の関係を示唆する [JR] の中でも使われている。

  • topological quandle

3次元トポロジーと数論の類似から, 数論的対象からも quandle が定義されても不思議ではないが, 実際 [Tak] がある。

Henderson と Marcedo と Nelson は, [HMN] で有限 order の quandle を全て見付けるための algorithm を考えている。

Manturov [Man02] により導入された virtual quandle というものもある。Kauffman と Manturov [KM] は, virtual biquandle を導入している。

References

[Aki]

Toshiyuki Akita. The adjoint group of a Coxeter quandle. arXiv: 1702.07104.

[BDS]

Valeriy G. Bardakov, Pinka Dey, and Mahender Singh. Automorphism groups of quandles arising from groups. arXiv: 1608.05178.

[Cla+]

W. Edwin Clark, Mohamed Elhamdadi, Masahico Saito, and Timothy Yeatman. Quandle Colorings of Knots and Applications. arXiv: 1312.3307.

[CSV]

W. Edwin Clark, M. Saito, and L. Vendramin. Quandle coloring and cocycle invariants of composite knots and abelian extensions. arXiv: 1407.5803.

[Eis14]

Michael Eisermann. “Quandle coverings and their Galois correspondence”. In: Fund. Math. 225.1 (2014), pp. 103–168. arXiv: math/0612459. url: http://dx.doi.org/10.4064/fm225-1-7.

[HMN]

Richard Henderson, Todd Macedo, and Sam Nelson. Symbolic computation with finite quandles. arXiv: math/0508351.

[Joy82]

David Joyce. “A classifying invariant of knots, the knot quandle”. In: J. Pure Appl. Algebra 23.1 (1982), pp. 37–65. url: http://dx.doi.org/10.1016/0022-4049(82)90077-9.

[JR]

Magnus Jacobsson and Ryszard L. Rubinsztein. Symplectic topology of \(\SU (2)\)-representation varieties and link homology, I: Symplectic braid action and the first Chern class. arXiv: 0806.2902.

[Kab12]

Yuichi Kabaya. “Cyclic branched coverings of knots and quandle homology”. In: Pacific J. Math. 259.2 (2012), pp. 315–347. arXiv: 1012.3729. url: http://dx.doi.org/10.2140/pjm.2012.259.315.

[KM]

Louis Kauffman and Vassily Olegovich Manturov. Virtual Biquandles. arXiv: math/0411243.

[Man02]

V. O. Manturov. “On invariants of virtual links”. In: Acta Appl. Math. 72.3 (2002), pp. 295–309. url: https://doi.org/10.1023/A:1016258728022.

[Mat82]

S. V. Matveev. “Distributive groupoids in knot theory”. In: Mat. Sb. (N.S.) 119(161).1 (1982), pp. 78–88, 160.

[MR]

Shahn Majid and Konstanze Rietsch. Lie theory and coverings of finite groups. arXiv: 1209.0045.

[Nosa]

Takefumi Nosaka. Central extensions of groups and adjoint groups of quandles. arXiv: 1505.03077.

[Nosb]

Takefumi Nosaka. On third homologies of groups and of quandles via the Dijkgraaf-Witten invariant and Inoue-Kabaya map. arXiv: 1210.6540.

[Rub]

Ryszard L. Rubinsztein. Topological Quandles and Invariants of Links. arXiv: math/0508536.

[Tak]

Nobuyoshi Takahashi. Quandles associated to Galois covers of arithmetic schemes. arXiv: 1508.03937.