確率論

最近のトポロジーと確率論の関係としては, 計算トポロジーでの persistent homology がある。Bubenik と Kim の [BK07] を読むとよい。 Mileyko, Mukherjee, Harer らは [MMH11; Tur+] で persistence diagram の空間上の確率測度を考えている。

トポロジーというより微分幾何学寄りの話題であるが, Bismut が [Bis86] で確率論の応用について述べている。 Atiyah-Singer の index theorem や Witten Morse complex など。

よりトポロジーに近い問題として, 単体的複体などで, 頂点集合に辺や面を適当な確率で貼り付けたときにホモトピー型がどう変わるか, というものがある。最近盛んに研究されている。

• random object の topology

単体的複体との関係では, qualitative probability order という概念がある。有限集合上の probability measure の一般化になっているようなもののようである。

• qualitative probability order

Edelman と Gvozdeva と Slinko の [EGS] では, qualitative probability order から作られる simplicial complex が考えられている。

グラフを確率論的に扱うには, subgraph density という量も重要なようである。 Lovasz と Szegedy の [LS11] によると, それによりグラフの列を考える際には graphon という \([0,1]\times [0,1]\) 上の関数が, グラフの列の一般化として考えられる。

Random walk については, graph や simplicial complex や arrangement など, 様々な幾何学的 (組せ合せ論的) 構造の上のものが考えられている。

• random walk

確率論の一般化として, noncommutative probability と呼ばれるものがある。 確率空間上の measurable function の成す可換な algebra (algebra of random varialbes) を非可換な algebra に変えようというアイデアである。その一種として Voiculescu と Dykema と Nica [VDN92] により導入された free probability がある。 やはり Tao による解説が分かりやすい。

• algebra of random variables
• free probability
• noncommutative probability

Noncrossing partition [Spe97] や complex cobordism [FM] などとも関係あるよう である。

関連して, Parkら [DPT15a; DPT15b]が \(A_{\infty }\)-algebraや \(L_{\infty }\)-algebra などの homotopy algebra を使うことを提案している。 彼等は homotopy probability theory と呼んでいる。

• homotopy probability theory

Vargas [Var] がそれに関連して, noncommutative probability と TDA の関係について議論してい る。

別の方向では, Gauthier の algebraic stochastic calculus [Gau]がある。Grothendieck topologyやそれに関する sheafなどを使おうとして いる。当然 \((\infty ,1)\)-categoryなども使 われている。

確率論に触発された abstract simplicial complex の幾何学的実現が Ivan Marin [Mar20] により導入されている。普通の幾何学的実現と弱ホモトピー同値になるようであるが, どのような利点があるのだろうか。

ホモロジーを導入した人もいる。Baudot と Bennequin [BB15] の information homology である。 Vigneaux の thesis [Vig] を見るとよい。

• information homology

References

[BB15]

Pierre Baudot and Daniel Bennequin. “The homological nature of entropy”. In: Entropy 17.5 (2015), pp. 3253–3318. url: https://doi.org/10.3390/e17053253.

[Bis86]

Jean-Michel Bismut. “Probability and geometry”. In: Probability and analysis (Varenna, 1985). Vol. 1206. Lecture Notes in Math. Berlin: Springer, 1986, pp. 1–60. url: http://dx.doi.org/10.1007/BFb0076299.

[BK07]

Peter Bubenik and Peter T. Kim. “A statistical approach to persistent homology”. In: Homology, Homotopy Appl. 9.2 (2007), pp. 337–362. arXiv: math/0607634. url: http://projecteuclid.org/euclid.hha/1201127341.

[DPT15a]

Gabriel C. Drummond-Cole, Jae-Suk Park, and John Terilla. “Homotopy probability theory I”. In: J. Homotopy Relat. Struct. 10.3 (2015), pp. 425–435. arXiv: 1302 . 3684. url: https://doi.org/10.1007/s40062-013-0067-y.

[DPT15b]

Gabriel C. Drummond-Cole, Jae-Suk Park, and John Terilla. “Homotopy probability theory II”. In: J. Homotopy Relat. Struct. 10.3 (2015), pp. 623–635. arXiv: 1302 . 5325. url: https://doi.org/10.1007/s40062-014-0078-3.

[EGS]

Paul H. Edelman, Tatyana Gvozdeva, and Arkadii Slinko. Simplicial Complexes Obtained from Qualitative Probability Orders. arXiv: 1108.3700.

[FM]

Roland Friedrich and John McKay. Formal Groups, Witt vectors and Free Probability. arXiv: 1204.6522.

[Gau]

Renaud Gauthier. Algebraic Stochastic Calculus. arXiv: 1407.6784.

[LS11]

L. Lovász and B. Szegedy. “Finitely forcible graphons”. In: J. Combin. Theory Ser. B 101.5 (2011), pp. 269–301. arXiv: 0901. 0929. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.jctb.2011.03.005.

[Mar20]

Ivan Marin. “Simplicial random variables”. In: North-West. Eur. J. Math. 6 (2020), pp. 199–220, i. arXiv: 1703.03987.

[MMH11]

Yuriy Mileyko, Sayan Mukherjee, and John Harer. “Probability measures on the space of persistence diagrams”. In: Inverse Problems 27.12 (2011), pp. 124007, 22. url: https://doi.org/10.1088/0266-5611/27/12/124007.

[Spe97]

Roland Speicher. “Free probability theory and non-crossing partitions”. In: Sém. Lothar. Combin. 39 (1997), Art. B39c, 38 pp. (electronic).

[Tur+]

Katharine Turner, Yuriy Mileyko, Sayan Mukherjee, and John Harer. Fréchet Means for Distributions of Persistence diagrams. arXiv: 1206.2790.

[Var]

Carlos Vargas. Non-commutative Probability Theory for Topological Data Analysis. arXiv: 1708.06078.

[VDN92]

D. V. Voiculescu, K. J. Dykema, and A. Nica. Free random variables. Vol. 1. CRM Monograph Series. A noncommutative probability approach to free products with applications to random matrices, operator algebras and harmonic analysis on free groups. Providence, RI: American Mathematical Society, 1992, pp. vi+70. isbn: 0-8218-6999-X.

[Vig]

Juan Pablo Vigneaux. Information structures and their cohomology. arXiv: 1709.07807.