最近のトポロジーと確率論の関係としては, 計算トポロジーでの persistent homology がある。Bubenik と Kim の
[BK07] を読むとよい。 Mileyko, Mukherjee, Harer らは [MMH11; Tur+] で persistence
diagram の空間上の確率測度を考えている。
トポロジーというより微分幾何学寄りの話題であるが, Bismut が [Bis86] で確率論の応用について述べている。 Atiyah-Singer の
index theorem や Witten Morse complex など。
よりトポロジーに近い問題として, 単体的複体などで, 頂点集合に辺や面を適当な確率で貼り付けたときにホモトピー型がどう変わるか,
というものがある。最近盛んに研究されている。
単体的複体との関係では, qualitative probability order という概念がある。有限集合上の probability measure
の一般化になっているようなもののようである。
- qualitative probability order
Edelman と Gvozdeva と Slinko の [EGS] では, qualitative probability order から作られる
simplicial complex が考えられている。
グラフを確率論的に扱うには, subgraph density という量も重要なようである。 Lovasz と Szegedy の [LS11]
によると, それによりグラフの列を考える際には graphon という \([0,1]\times [0,1]\) 上の関数が, グラフの列の一般化として考えられる。
Random walk については, graph や simplicial complex や arrangement など, 様々な幾何学的
(組せ合せ論的) 構造の上のものが考えられている。
確率論の一般化として, noncommutative probability と呼ばれるものがある。 確率空間上の measurable
function の成す可換な algebra (algebra of random varialbes) を非可換な algebra
に変えようというアイデアである。その一種として Voiculescu と Dykema と Nica [VDN92] により導入された free
probability がある。 やはり Tao による解説が分かりやすい。
- algebra of random variables
- free probability
- noncommutative probability
Noncrossing partition [Spe97] や complex cobordism [FM] などとも関係あるよう
である。
関連して, Parkら [DPT15a; DPT15b]が \(A_{\infty }\)-algebraや \(L_{\infty }\)-algebra などの homotopy algebra
を使うことを提案している。 彼等は homotopy probability theory と呼んでいる。
Vargas [Var] がそれに関連して, noncommutative probability と TDA の関係について議論してい
る。
別の方向では, Gauthier の algebraic stochastic calculus [Gau]がある。Grothendieck
topologyやそれに関する sheafなどを使おうとして いる。当然 \((\infty ,1)\)-categoryなども使 われている。
確率論に触発された abstract simplicial complex の幾何学的実現が Ivan Marin [Mar20]
により導入されている。普通の幾何学的実現と弱ホモトピー同値になるようであるが, どのような利点があるのだろうか。
ホモロジーを導入した人もいる。Baudot と Bennequin [BB15] の information homology である。
Vigneaux の thesis [Vig] を見るとよい。
References
-
[BB15]
-
Pierre Baudot and Daniel Bennequin. “The homological nature
of entropy”. In: Entropy 17.5 (2015), pp. 3253–3318. url:
https://doi.org/10.3390/e17053253.
-
[Bis86]
-
Jean-Michel Bismut.
“Probability and geometry”. In: Probability and analysis (Varenna,
1985). Vol. 1206. Lecture Notes in Math. Berlin: Springer, 1986,
pp. 1–60. url: http://dx.doi.org/10.1007/BFb0076299.
-
[BK07]
-
Peter Bubenik and Peter T.
Kim. “A statistical approach to persistent homology”. In: Homology,
Homotopy Appl. 9.2 (2007), pp. 337–362. arXiv: math/0607634.
url: http://projecteuclid.org/euclid.hha/1201127341.
-
[DPT15a]
-
Gabriel C. Drummond-Cole, Jae-Suk Park, and John Terilla.
“Homotopy probability theory I”. In: J. Homotopy Relat.
Struct. 10.3 (2015), pp. 425–435. arXiv: 1302 . 3684. url:
https://doi.org/10.1007/s40062-013-0067-y.
-
[DPT15b]
-
Gabriel C. Drummond-Cole, Jae-Suk Park, and John Terilla.
“Homotopy probability theory II”. In: J. Homotopy Relat.
Struct. 10.3 (2015), pp. 623–635. arXiv: 1302 . 5325. url:
https://doi.org/10.1007/s40062-014-0078-3.
-
[EGS]
-
Paul H. Edelman, Tatyana Gvozdeva, and Arkadii Slinko. Simplicial
Complexes Obtained from Qualitative Probability Orders. arXiv:
1108.3700.
-
[FM]
-
Roland Friedrich and John McKay. Formal Groups, Witt vectors
and Free Probability. arXiv: 1204.6522.
-
[Gau]
-
Renaud Gauthier. Algebraic Stochastic Calculus. arXiv: 1407.6784.
-
[LS11]
-
L. Lovász and B. Szegedy. “Finitely forcible graphons”. In: J.
Combin. Theory Ser. B 101.5 (2011), pp. 269–301. arXiv: 0901.
0929. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.jctb.2011.03.005.
-
[Mar20]
-
Ivan Marin. “Simplicial random variables”. In: North-West. Eur. J.
Math. 6 (2020), pp. 199–220, i. arXiv: 1703.03987.
-
[MMH11]
-
Yuriy Mileyko, Sayan Mukherjee,
and John Harer. “Probability measures on the space of persistence
diagrams”. In: Inverse Problems 27.12 (2011), pp. 124007, 22. url:
https://doi.org/10.1088/0266-5611/27/12/124007.
-
[Spe97]
-
Roland Speicher. “Free probability theory and non-crossing
partitions”. In: Sém. Lothar. Combin. 39 (1997), Art. B39c, 38
pp. (electronic).
-
[Tur+]
-
Katharine Turner, Yuriy Mileyko, Sayan Mukherjee, and John
Harer. Fréchet Means for Distributions of Persistence diagrams.
arXiv: 1206.2790.
-
[Var]
-
Carlos Vargas. Non-commutative Probability Theory for Topological
Data Analysis. arXiv: 1708.06078.
-
[VDN92]
-
D. V. Voiculescu, K. J. Dykema, and A. Nica. Free random
variables. Vol. 1. CRM Monograph Series. A noncommutative
probability approach to free products with applications to random
matrices, operator algebras and harmonic analysis on free groups.
Providence, RI: American Mathematical Society, 1992, pp. vi+70.
isbn: 0-8218-6999-X.
-
[Vig]
-
Juan Pablo Vigneaux. Information structures and their cohomology.
arXiv: 1709.07807.
|