古典的な(コ)ホモロジーに関してできれば知っていた方がいいこと

古典的な homology や cohomology について, 基本的な事柄は, 別のページにまとめた。 以下のことは, 必要になったときに勉強すればよいだろう。

• 局所係数の(コ)ホモロジー。 より一般に 層のコホモロジーや twisted cohomology。

• コホモロジーは sequencial homotopy colimit を limit に変換するとは限らない。つまり包含写像から誘導される写像

  \[ H^*(\hocolim _{n\in \N } X_{n}) \longrightarrow \lim _{n\in \N } H^*(X_{n}) \]
  は全射ではあるが単射とは限らない。その kernel は \(\limitone H^*(X_{n})\) というものになる [Mil62]。 できた短完全列を Milnor の \(\limitone \) 完全列という。
• コホモロジー作用素

• Alexander の双対定理。つまり \(K\) を空でない \(S^n\) の閉部分集合で \(S^n\) 自身ではないものとする。\(K\) がそのある近傍の retract ならば

  \[ \widetilde {H}^{n-q}(K) \cong \widetilde {H}_{q-1}(S^n-K) \]
  という同型がある。
• Poincaré duality などの双対性に関するいくつかの定理
• Lefschetz の不動点定理
• Cubical chain complex によるホモロジーとコホモロジーの定義
• 可微分多様体の de Rham コホモロジー

Cubical chain complex は, Serre による Serre スペクトル系列の構成で有効に使われた。 特に積を考えるときには, cubical chain の方が楽である。

可微分多様体の de Rham コホモロジーは, 特性類を 微分形式で表わしたりするときに必要になる。 Differential cohomology を定義するときにも必要になる

可微分多様体の \(\R \) 係数ホモロジーについては, de Rham の current を用いた記述がある。また Zinger が [Zin08] で pseudocycle という概念を用いて, 多様体の \(\Z \)係数ホモロジーと同型になる群を構成している。

Segal は, [Seg75] で total Chern class や total Stiefel-Whitney class を考えるために graded ring \(R_{*}\) に係数を持つホモロジー

を考えている。\(H^{0}(X;R_{*})\) は環になるが, その unit の成す群 \(G(X;R_{*})\) が cohomology theory になることを証明している。

その最後で, total Stiefel-Whitney class や total Chern class が, その cohomology theory を用いて cohomology theory の写像として拡張できるか, という問題を提示しているが, それは Boyer, Lawson, Lima-Filo, Mann, Michelsohn [Boy+93] により, algebraic cycle の成す空間を用いて, 肯定的に解決されている。また Carmeli と Luecke [CL] により, 別の視点から証明されている。

References

[Boy+93]

Charles P. Boyer, H. Blaine Lawson Jr., Paulo Lima-Filho, Benjamin M. Mann, and Marie-Louise Michelsohn. “Algebraic cycles and infinite loop spaces”. In: Invent. Math. 113.2 (1993), pp. 373–388. url: http://dx.doi.org/10.1007/BF01244311.

[CL]

Shachar Carmeli and Kiran Luecke. Tate-valued Characteristic Classes. arXiv: 2503.12134.

[Mil62]

J. Milnor. “On axiomatic homology theory”. In: Pacific J. Math. 12 (1962), pp. 337–341. url: http://projecteuclid.org/euclid.pjm/1103036730.

[Seg75]

Graeme Segal. “The multiplicative group of classical cohomology”. In: Quart. J. Math. Oxford Ser. (2) 26.103 (1975), pp. 289–293. url: https://doi.org/10.1093/qmath/26.1.289.

[Zin08]

Aleksey Zinger. “Pseudocycles and integral homology”. In: Trans. Amer. Math. Soc. 360.5 (2008), pp. 2741–2765. arXiv: math/0605535. url: http://dx.doi.org/10.1090/S0002-9947-07-04440-6.