Lie algebra の一般化に対する積分問題

Lie群があると, その単位元での tangent space を取ることにより, Lie algebra が得られる。 逆に, Lie algebra が与えられたとき, 元になっている Lie群を見付けるという問題が考えられる。 これを tangent space と取ることの逆なので, 積分問題という。

有限次元の simple Lie algebra に対しては, 対応する Lie群は具体的に構成されている。 それについては, 横田の本 [横田一90; 横田一92] がある。 より一般的な Lie algebra や, Lie algebra を一般化した代数的構造に対しても, 積分問題は, 様々な人により考えられている。

Lie algebroid については, Tseng と Zhu [TZ] により stakcy groupoid (Weinstein groupoid) を用いて解決されている。

Lie algebra から skew symmetry を除いた Leibniz algebra については, Kinyon [Kin07] の rack を使うというアイデアがある。

  • Leibniz algebra の Lie rack による積分

Kinyon の構成は, Lie algebra に適用しても Lie群の conjugation rack が得られない, という点で不完全なものである。それを改良する試みとして, Covezの [Cov], そして Bordemann と Wagemann の [BW] がある。Bordemann と Wagemann の構成は, functorial ではないが, Lie algebra と Lie群の対応の拡張になっている。

他のアプローチとしては, Mostovoy の [Mos] もある。 Dherin と Wagemann の [DW] の前半に Leibniz algebra の積分問題のことがまとめられているので, まずはそれを見るのがよいだろう。

Leibniz algebroid に対しては, Laurent-Gengoux と Wagemann [LW16] が Lie rackoid というものを導入し, その tangent algebroid が Leibniz algebroid になることを確かめている。これが Leibniz algebroid を積分する正しいアプローチなのだろうか。 彼等は, [LW20] では, Courant algebroid の積分問題に対しても Lie rackoid を使うことを提唱している。

  • Leibniz algebroid の Lie rackoid による積分
  • Courant algebroid の Lie rackoid による積分

\(L_{\infty }\)-algebra に対して, simplicial な方法で Lie群に対応するものを構成しようというのは, Getzler [Get09] のアイデアである。Dolgushev と Rogers [DR] では Hinich の論文 [Hin97] も合せて参照され, Deligne-Getzler-Hinich groupoid と呼ばれている。 ここで Deligne の名前が入っているのは, dg Lie algebra に対する Deligne groupoid の構成の一般化になっているからである。

\(L_{\infty }\)-algebra に対して Getlzer が構成したのは, groupoid ではなく Kan complex であるが。 Henriques [Hen08] は, \(L_{\infty }\)-algebra に対し, Kan complex ではなく Kan condition を満たす simplicial manifold を構成している。 Filtered \(L_{\infty }\)-algebra に対しては Dolgushev と Rogers [DR] が考えている。

Lie \(2\)-algebra に対応するものとしては, 当然 Lie \(2\)-group が考えられている。Wockel の [Woc] や Noohi の [Noo13] など。Lie \(2\)-algebra は, \(2\)-term \(L_{\infty }\)-algebra とみなすことができるので, Getzler や Henriqes の方法で integrate し, 2-truncation を取ることで integration ができる。一方, Lie \(2\)-algebra は crossed module of Lie algebra とみなすこともできるので, それを crossed module of Lie group に integrate することもできる。Sheng と Zhu [SZ] は, この二つの integration が同じものであることを確かめている。

Chen と Stiénon と Xu の [CSX13] によると, Lie bialgebra と Poisson group との対応を発見したのは Drinfel\('\)d [Dri83; Dri87] のようである。Chenらは, その対応の \(2\)-category 版, つまり Lie \(2\)-bialgebra と Poisson \(2\)-group の対応を構成している。

作用を積分することも考えられている。Zambon と Zhu の [ZZ] など。

References

[BW]

Martin Bordemann and Friedrich Wagemann. A dirty integration of Leibniz algebras. arXiv: 1606.08214.

[Cov]

Simon Covez. The local integration of Leibniz algebras. arXiv: 1011.4112.

[CSX13]

Zhuo Chen, Mathieu Stiénon, and Ping Xu. “Poisson 2-groups”. In: J. Differential Geom. 94.2 (2013), pp. 209–240. arXiv: 1202.0079. url: http://projecteuclid.org/euclid.jdg/1367438648.

[DR]

Vasily A. Dolgushev and Christopher L. Rogers. A Version of the Goldman-Millson Theorem for Filtered L-infinity Algebras. arXiv: 1407.6735.

[Dri83]

V. G. Drinfel\('\)d. “Hamiltonian structures on Lie groups, Lie bialgebras and the geometric meaning of classical Yang-Baxter equations”. In: Dokl. Akad. Nauk SSSR 268.2 (1983), pp. 285–287.

[Dri87]

V. G. Drinfel\('\)d. “Quantum groups”. In: Proceedings of the International Congress of Mathematicians, Vol. 1, 2 (Berkeley, Calif., 1986). Providence, RI: Amer. Math. Soc., 1987, pp. 798–820.

[DW]

Benoit Dherin and Friedrich Wagemann. Deformation quantization of Leibniz algebras. arXiv: 1310.6854.

[Get09]

Ezra Getzler. “Lie theory for nilpotent \(L_{\infty }\)-algebras”. In: Ann. of Math. (2) 170.1 (2009), pp. 271–301. arXiv: math/0404003. url: http://dx.doi.org/10.4007/annals.2009.170.271.

[GM88]

William M. Goldman and John J. Millson. “The deformation theory of representations of fundamental groups of compact Kähler manifolds”. In: Inst. Hautes Études Sci. Publ. Math. 67 (1988), pp. 43–96. url: http://www.numdam.org/item?id=PMIHES_1988__67__43_0.

[Hen08]

André Henriques. “Integrating \(L_{\infty }\)-algebras”. In: Compos. Math. 144.4 (2008), pp. 1017–1045. arXiv: math/0603563. url: http://dx.doi.org/10.1112/S0010437X07003405.

[Hin97]

Vladimir Hinich. “Descent of Deligne groupoids”. In: Internat. Math. Res. Notices 5 (1997), pp. 223–239. arXiv: alg-geom/9606010. url: http://dx.doi.org/10.1155/S1073792897000160.

[Kin07]

Michael K. Kinyon. “Leibniz algebras, Lie racks, and digroups”. In: J. Lie Theory 17.1 (2007), pp. 99–114. arXiv: math/0403509.

[LW16]

Camille Laurent-Gengoux and Friedrich Wagemann. “Lie rackoids”. In: Ann. Global Anal. Geom. 50.2 (2016), pp. 187–207. arXiv: 1511.03018. url: https://doi.org/10.1007/s10455-016-9507-3.

[LW20]

Camille Laurent-Gengoux and Friedrich Wagemann. “Lie rackoids integrating Courant algebroids”. In: Ann. Global Anal. Geom. 57.2 (2020), pp. 225–256. arXiv: 1807.05891. url: https://doi.org/10.1007/s10455-019-09697-2.

[Mos]

Jacob Mostovoy. A comment on the integration of Leibniz algebras. arXiv: 1011.5698.

[Noo13]

Behrang Noohi. “Integrating morphisms of Lie 2-algebras”. In: Compos. Math. 149.2 (2013), pp. 264–294. arXiv: 0910.1818. url: https://doi.org/10.1112/S0010437X1200067X.

[SZ]

Yunhe Sheng and Chenchang Zhu. Integration of Lie \(2\)-algebras and their morphisms. arXiv: 1109.4002.

[TZ]

Hsian-Hua Tseng and Chenchang Zhu. Integrating Lie algebroids via stacks. arXiv: math/0405003.

[Woc]

Christoph Wockel. Categorified central extensions, étale Lie 2-groups and Lie’s Third Theorem for locally exponential Lie algebras. arXiv: 0812.1673.

[ZZ]

Marco Zambon and Chenchang Zhu. Higher Lie algebra actions on Lie algebroids. arXiv: 1012.0428.

[横田一90]

横田一郎. 古典型単純リー群. 京都: 現代数学社, 1990.

[横田一92]

横田一郎. 例外型単純リー群. 京都: 現代数学社, 1992.