Integrating Leibniz Algebras

Leibniz algebra は, Lie algebra から対称性の条件を省いたものであるが, Lie algebra に関する概念を拡張することが様々な人により考えられている。 Lie algebra の積分問題の Leibniz 版に対しても, 様々なアプローチが考えられている。

まず Kinyon [Kin07] の rack を使うというアイデアがある。

• Leibniz algebra の Lie rack による積分

ただ, Mostovoy が [Mos13] で指摘しているように, Kinyon の構成は, Lie algebra に適用しても Lie群の conjugation rack が得られない, という点で不完全なものである。

それを改良する試みとして, Covez の [Cov13], そして Bordemann と Wagemann の [BW] がある。Bordemann と Wagemann の構成は, functorial ではないが, Lie algebra と Lie群の対応の拡張になっている。

他のアプローチとしては, Mostovoy の [Mos13] もある。 Dherin と Wagemann の [DW15] の前半に Leibniz algebra の積分問題のことがまとめられているので, まずはそれを見るのがよいだろう。

Leibniz algebroid に対しては, Laurent-Gengoux と Wagemann [LW16] が Lie rackoid というものを導入し, その tangent algebroid が Leibniz algebroid になることを確かめている。これが Leibniz algebroid を積分する正しいアプローチなのだろうか。 彼等は, [LW20] では, Courant algebroid の積分問題に対しても Lie rackoid を使うことを提唱している。

• Leibniz algebroid の Lie rackoid による積分
• Courant algebroid の Lie rackoid による積分

References

[BW]

Martin Bordemann and Friedrich Wagemann. A dirty integration of Leibniz algebras. arXiv: 1606.08214.

[Cov13]

Simon Covez. “The local integration of Leibniz algebras”. In: Ann. Inst. Fourier (Grenoble) 63.1 (2013), pp. 1–35. arXiv: 1011.4112. url: https://doi.org/10.5802/aif.2754.

[DW15]

Benoit Dherin and Friedrich Wagemann. “Deformation quantization of Leibniz algebras”. In: Adv. Math. 270 (2015), pp. 21–48. arXiv: 1310.6854. url: https://doi.org/10.1016/j.aim.2014.10.022.

[Kin07]

Michael K. Kinyon. “Leibniz algebras, Lie racks, and digroups”. In: J. Lie Theory 17.1 (2007), pp. 99–114. arXiv: math/0403509.

[LW16]

Camille Laurent-Gengoux and Friedrich Wagemann. “Lie rackoids”. In: Ann. Global Anal. Geom. 50.2 (2016), pp. 187–207. arXiv: 1511.03018. url: https://doi.org/10.1007/s10455-016-9507-3.

[LW20]

Camille Laurent-Gengoux and Friedrich Wagemann. “Lie rackoids integrating Courant algebroids”. In: Ann. Global Anal. Geom. 57.2 (2020), pp. 225–256. arXiv: 1807.05891. url: https://doi.org/10.1007/s10455-019-09697-2.

[Mos13]

J. Mostovoy. “A comment on the integration of Leibniz algebras”. In: Comm. Algebra 41.1 (2013), pp. 185–194. arXiv: 1011.5698. url: https://doi.org/10.1080/00927872.2011.625562.