球面のホモトピー群

球面のホモトピー群は非常に複雑であるが, CW複体のホモトピー型, よって多様体など主要な空間をホモトピー論的に調べるときには, 基本的なデータになる。 定義は簡単であるが故に, 逆にどこから手をつけてよいのか分かりづらい。

まず安定ホモトピー群と非安定ホモトピー群があるが, 安定ホモトピー群の方が扱い易い。その計算方法と, どこまで計算できているかについては, Wang と Xu の [WX]の section 2 にまとめられている。彼等自身, その論文で \(61\)次の球面の安定ホモトピー群が\(0\)であることを示している。

非安定ホモトピー群について, 知っておくべき一般的事実としては, 以下のことが挙げられるだろう。

  • Torsion free partは, 奇数次元球面については \[ \pi _{2n+1+k}(S^{2n+1})\otimes \Q \cong \begin{cases} \Q & k=0 \\ 0 & k \neq 0 \end{cases} \] で, そして偶数次元球面については \[ \Omega S^{2n}_{[\frac{1}{2}]} \simeq S^{2n-1}_{[\frac{1}{2}]}\times \Omega S^{4n-1}_{[\frac{1}{2}]} \] で与えられる。
  • Hopf invariant one の元は, Hopf map \(\eta \in \pi _3(S^2)\), \(\nu \in \pi _7(S^4)\), \(\sigma \in \pi _{15}(S^8)\) しかない。
  • Cohen-Moore-Neisendorfer の exponent theorem, つまり奇素数 \(p\)に 対し \[ p^n\{\text{$p$-torsion part of }\pi _*(S^{2n+1}\langle 2n+1\rangle )\} = 0 \]

最初の事実は, Serre [Ser53] によるものである。 Serre は, \(\mathcal{C}\)-theory という理論と Serre spectral sequence を用いたが, それらを用いない証明が Klaus と Kreck の [KK04] にある。

Hopf invariant を勉強するときには, EHP sequence の一部として理解すべきである。

球面のホモトピー群を全て決定するのは不可能だろう, ということからか大域的構造を調べることも50年代から行なわれている。 James の [Jam57], Toda の [Tod56], そして上記の Cohen と Moore と Neisendorfer の仕事である。

Exponet とは別の大域的構造として, 球面のホモトピー群がどの次数で\(0\)にな らないか, という問題も考えられる。Ivanov, Mikhailov, Wu の [IMW] によると, 以下のことが知られている。

  • \(n\ge 4\) に対し \(\pi _n(S^4)\neq 0\) (Curtis [Cur69])
  • \(n\ge 5\) に対し \(\pi _n(S^5)\neq 0\) (Mahowald [Mah75; Mah82] と Mori [Mor75])
  • \(n\ge 2\) に対し \(\pi _n(S^2)\neq 0\), よって \(n\ge 3\) に対し \(\pi _n(S^3)\neq 0\) (Ivanov, Mikhailov, Wu [IMW])

すると, 残りは \(n\ge 6\) の \(S^n\) のホモトピー群であるが, 安定ホモトピー群の結果から, それらは \(0\) になる次数があることが分かる。

Hopf invariant oneの元の非存在については, 最初Adams [Ada60]が secondary operationを使って, そしてAdams とAtiyah [AA66]がK理論Adams operationを用いて証明した。

Adams の研究は, Adams spectral sequence という形に一般化され, 安定ホモトピー論では, Adams 型のspectral sequence がホモトピー群を調べるための基本的な道具となった。 Unstable Adams spectral sequence と呼ばれるものもあるが, 代数的な扱いが stable の場合より難しい。

安定ホモトピー論とは, 簡単に言えば, Freudenthal の懸垂定理により同型が成り立つ範囲で成り立つ現象についての研究であり, 現在では spectrum の圏の構造の研究と言ってよいだろう。 球面のホモトピー群も, stable な世界と unstable な世界では調べる方法が大きく異なっている。

安定ホモトピー論では, 代数的な技術の発達と Mahowald や Ravenelや Hopkins などのアイデアにより, 80年代以降球面のホモトピー群 (そして安定ホモトピー圏) の大域的構造についていろんなことが分かってきた。 それについては, Ravenel の本[Rav03; Rav92] を見るのがよいと思う。 Goerss の解説 [Goe] を読んでまず概略を掴むのもよいだろう。

Hopf invariant one の次に, 球面の安定ホモトピー群についての重要な問題だった, Kervaire invariant one の元の存在の問題も, 最近, Hill と Hopkins と Ravenel [HHR16] により このような手法により (1つの場合を除いて) 解決された。

そこでは, equivariant stable homotopy theory も重要な道具として使われている。

具体的な球面のホモトピー群の計算も知っておいた方がよい。 いくつか方法があるが, 以下の方法の計算の経験があるとよい。

Adams スペクトル系列の計算のためには, Lambda algebra を知っているとよい。 Tangora などによる計算機による計算 [Tan85] に必要である。

具体的な生成元について, それを表わす写像などを見つけるという問題もある。

連続写像だと選択肢が多すぎるから, 多項式で表わされる写像でどれぐらいの元が表わされるか考えようというアイデアもある。 Baum の [Bau67], Wood の [Woo68; Woo93], そして Turiel の [Tur] など。

安定ホモトピー群は framed cobordism 群と同型だから, 球面の安定ホモトピー群の元を表わす framed manifold があるはずである。 また Lie群 は framed manifold だから, Lie 群の表わす球面のホモトピー群の元が何かという問題も考えられる。

生成元と関係式による表示としては, Wuの [Wu01]や, Berrick, Cohen, Wong, Wu の [Ber+06] がある。\(S^2\) の場合のみであるが, 球面のホモトピー群全体を代数的に表すことができるというのは画期的なことである。 Wu のものについては, Ellis と Mikhailov の [EM10]もある。

Loday は operadに関する問題のリスト [Lod12] の最後で, 球面の安定ホモトピー群の \(p\)-componentを \(2p-3\)次の元 \(\alpha _1\) 一つで生成された「代数」として表すという問題を 提示している。もちろん, このときの\(p\)は奇素数だろう。もしLodayの言うよ うにoperadに類似の構造として記述できるとしたら, ちょっと驚きである。

References

[AA66]

J. F. Adams and M. F. Atiyah. “\(K\)-theory and the Hopf invariant”. In: Quart. J. Math. Oxford Ser. (2) 17 (1966), pp. 31–38.

[Ada60]

J. F. Adams. “On the non-existence of elements of Hopf invariant one”. In: Ann. of Math. (2) 72 (1960), pp. 20–104.

[Bau67]

Paul F. Baum. “Quadratic maps and stable homotopy groups of spheres”. In: Illinois J. Math. 11 (1967), pp. 586–595.

[Ber+06]

A. J. Berrick, F. R. Cohen, Y. L. Wong, and J. Wu. “Configurations, braids, and homotopy groups”. In: J. Amer. Math. Soc. 19.2 (2006), pp. 265–326. url: http://dx.doi.org/10.1090/S0894-0347-05-00507-2.

[Cur69]

Edward B. Curtis. “Some nonzero homotopy groups of spheres”. In: Bull. Amer. Math. Soc. 75 (1969), pp. 541–544. url: https://doi.org/10.1090/S0002-9904-1969-12236-6.

[EM10]

Graham Ellis and Roman Mikhailov. “A colimit of classifying spaces”. In: Adv. Math. 223.6 (2010), pp. 2097–2113. arXiv: 0804.3581. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.aim.2009.11.003.

[Goe]

Paul G. Goerss. The Adams-Novikov Spectral Sequence and the Homotopy Groups of Spheres. arXiv: 0802.1006.

[HHR16]

M. A. Hill, M. J. Hopkins, and D. C. Ravenel. “On the nonexistence of elements of Kervaire invariant one”. In: Ann. of Math. (2) 184.1 (2016), pp. 1–262. arXiv: 0908.3724. url: https://doi.org/10.4007/annals.2016.184.1.1.

[IMW]

Sergei O. Ivanov, Roman Mikhailov, and Jie Wu. On nontriviality of homotopy groups of spheres. arXiv: 1506.00952.

[Jam57]

I. M. James. “On the suspension sequence”. In: Ann. of Math. (2) 65 (1957), pp. 74–107. url: https://doi.org/10.2307/1969666.

[KK04]

Stephan Klaus and Matthias Kreck. “A quick proof of the rational Hurewicz theorem and a computation of the rational homotopy groups of spheres”. In: Math. Proc. Cambridge Philos. Soc. 136.3 (2004), pp. 617–623. url: http://dx.doi.org/10.1017/S0305004103007114.

[Lod12]

Jean-Louis Loday. “Some problems in operad theory”. In: Operads and universal algebra. Vol. 9. Nankai Ser. Pure Appl. Math. Theoret. Phys. World Sci. Publ., Hackensack, NJ, 2012, pp. 139–146. arXiv: 1109.3290. url: https://doi.org/10.1142/9789814365123_0007.

[Mah75]

Mark Mahowald. “Description homotopy of the elements in the image of the \(J\)-homomorphism”. In: Manifolds—Tokyo 1973 (Proc. Internat. Conf., Tokyo, 1973). 1975, pp. 255–263.

[Mah82]

Mark Mahowald. “The image of \(J\) in the \(EHP\) sequence”. In: Ann. of Math. (2) 116.1 (1982), pp. 65–112. url: http://dx.doi.org/10.2307/2007048.

[Mor75]

Masamitsu Mori. “Applications of secondary \(e\)-invariants to unstable homotopy groups of spheres”. In: Mem. Fac. Sci. Kyushu Univ. Ser. A 29.1 (1975), pp. 59–87. url: https://doi.org/10.2206/kyushumfs.29.59.

[Rav03]

Douglas C. Ravenel. Complex Cobordism and Stable Homotopy Groups of Spheres. 2nd ed. American Mathematical Society, Nov. 2003. isbn: 9780821829677.

[Rav92]

Douglas C. Ravenel. Nilpotence and periodicity in stable homotopy theory. Vol. 128. Annals of Mathematics Studies. Appendix C by Jeff Smith. Princeton, NJ: Princeton University Press, 1992, pp. xiv+209. isbn: 0-691-02572-X.

[Ser53]

Jean-Pierre Serre. “Groupes d’homotopie et classes de groupes abéliens”. In: Ann. of Math. (2) 58 (1953), pp. 258–294. url: http://dx.doi.org/10.2307/1969789.

[Tan85]

Martin C. Tangora. “Computing the homology of the lambda algebra”. In: Mem. Amer. Math. Soc. 58.337 (1985), pp. v+163. url: http://dx.doi.org/10.1090/memo/0337.

[Tod56]

Hirosi Toda. “On the double suspension \(E\sp 2\)”. In: J. Inst. Polytech. Osaka City Univ. Ser. A. 7 (1956), pp. 103–145.

[Tod62]

Hirosi Toda. Composition methods in homotopy groups of spheres. Annals of Mathematics Studies, No. 49. Princeton, N.J.: Princeton University Press, 1962, pp. v+193.

[Tur]

Francisco-Javier Turiel. Complex Polynomial Representation of \(\pi _{n+1}(S^{n})\) and \(\pi _{n+2}(S^{n})\). arXiv: math/0702324.

[Woo68]

R. Wood. “Polynomial maps from spheres to spheres”. In: Invent. Math. 5 (1968), pp. 163–168.

[Woo93]

R. M. W. Wood. “Polynomial maps of affine quadrics”. In: Bull. London Math. Soc. 25.5 (1993), pp. 491–497. url: http://dx.doi.org/10.1112/blms/25.5.491.

[Wu01]

J. Wu. “Combinatorial descriptions of homotopy groups of certain spaces”. In: Math. Proc. Cambridge Philos. Soc. 130.3 (2001), pp. 489–513. url: http://dx.doi.org/10.1017/S030500410100487X.

[WX]

Guozhen Wang and Zhouli Xu. The triviality of the 61-stem in the stable homotopy groups of spheres. arXiv: 1601.02184.