群のコホモロジー

\(k\) を可換環とする。群 \(G\) と群環 \(k[G]\) 上の左加群 \(M\) に対し, \(G\) の \(M\) に係数を持つ\(n\)次コホモロジー群は普通以下のように定義される。 \[ H^n(G;M) = \Ext ^n_{k[G]}(k,M) \] ホモロジー代数の基礎ができていれば, 何のことはない定義である。もちろん, 具体的な群についての計算は簡単ではない場合が多いが。

ところが, これは分類空間 \(BG\) の \(\pi _1(BG)\cong G\) 加群 \(M\) に係数を持つ (局所係数の) 特異ホモロジーとみなすことができることから, 群のコホモロジーは代数的トポロジーの研究対象としても重要なのである。

群のコホモロジーの起源やその発達の過程については, Weibel の [Wei99] の §2.2 に簡潔にまとめられている。

群のコホモロジーについて基本的なことをまとめた本もいくつも出ている。 K. Brown の本 [Bro94] が標準的だろうか。簡単なことなら, Snaith の [Sna89] の最初にまとめられていることだけでもよいと思う。 そこでは具体例もいくつか計算されているので, それらを自分で計算してみるとよいと思う。

基本的なことは, ホモロジー代数の本に書かれていることも多い。Hilton と Stammbach の [HS97] や Weibel の [Wei94] など。もっとも, ホモロジー代数の本では derived functor として扱ってある場合が多いが。

もっと癖のあるものとして, Benson の本 [Ben98] がある。 これは代数的トポロジーをよく知っている人の書いた群のコホモロジーに関するテキストであり, 代数的トポロジーの入門としても使えなくもない。 もっとも豊富な内容を簡潔にまとめてあるので読み易いとは言えないが。 癖のあるものとしては, Iyengar の [Iye04]もある。これは commutative algebraist のために書かれたものである。有限群については, Adem と Milgram の本 [AM04] がある。

群 \(G\) のコホモロジーを \(G\)-graded vector space の成す monoidal category に対し定義されたものと考え, それを monoidal category に一般化しようとしているのは, Bazlov と Berenstein [BB] である。 2次のコホモロジーしか定義されていないが, このアプローチで一般的に monoidal category のコホモロジーが定義できるのだろうか。

以上のホモロジー代数的な群 \(G\) のコホモロジーは, その分類空間 \(BG\) のコホモロジーと同型になるので, 一般コホモロジー論 \(h^*(-)\) に対して, \(h^*(BG)\) を \(G\) の \(h\)-cohomology と呼ぶことが多い。

  • 群の一般コホモロジー

例えば, 有限群の \(K\)-theory は, 表現論と深い関係にあることが, 古くから (Atiyahの[Ati61]) 知られている。 \(K\)-theory 以外のコホモロジー論になると, algebraic topologist でないと扱えなくなってしまうが, 様々な場合が計算されている。例えば, Morava \(K\)-theory については Bakurazde の [Bak] の §1 にいくつか文献が挙げられている。

応用としては, 物理学の 物性理論で使われているのが興味深い。 Gu や Wen らの [Che+13; GW] である。 ただ, 最近では群の分類空間の cobordism を考える方がより精密であるという提案もある。

References

[AM04]

Alejandro Adem and R. James Milgram. Cohomology of finite groups. Second. Vol. 309. Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [Fundamental Principles of Mathematical Sciences]. Berlin: Springer-Verlag, 2004, pp. viii+324. isbn: 3-540-20283-8.

[Ati61]

M. F. Atiyah. “Characters and cohomology of finite groups”. In: Inst. Hautes Études Sci. Publ. Math. 9 (1961), pp. 23–64. url: http://www.numdam.org/item?id=PMIHES_1961__9__23_0.

[Bak]

Malkhaz Bakuradze. Morava \(k(s)^*\)-rings of the extensions of \(C_p\) by the products of good groups under diagonal action. arXiv: 1412.2274.

[BB]

Yuri Bazlov and Arkady Berenstein. Cocycle Twists and Extensions of Braided Doubles. arXiv: 1211.5279.

[Ben98]

D. J. Benson. Representations and cohomology. II. Second. Vol. 31. Cambridge Studies in Advanced Mathematics. Cohomology of groups and modules. Cambridge: Cambridge University Press, 1998, pp. xii+279. isbn: 0-521-63652-3.

[Bro94]

Kenneth S. Brown. Cohomology of groups. Vol. 87. Graduate Texts in Mathematics. Corrected reprint of the 1982 original. New York: Springer-Verlag, 1994, pp. x+306. isbn: 0-387-90688-6.

[Che+13]

Xie Chen, Zheng-Cheng Gu, Zheng-Xin Liu, and Xiao-Gang Wen. “Symmetry protected topological orders and the group cohomology of their symmetry group”. In: Phys. Rev. B87.15 (2013), p. 155114. arXiv: 1106.4772.

[GW]

Zheng-Cheng Gu and Xiao-Gang Wen. Symmetry-protected topological orders for interacting fermions – Fermionic topological nonlinear \(\sigma \) models and a special group supercohomology theory. arXiv: 1201.2648.

[HS97]

P. J. Hilton and U. Stammbach. A course in homological algebra. Second. Vol. 4. Graduate Texts in Mathematics. Springer-Verlag, New York, 1997, pp. xii+364. isbn: 0-387-94823-6. url: http://dx.doi.org/10.1007/978-1-4419-8566-8.

[Iye04]

Srikanth Iyengar. “Modules and cohomology over group algebras: one commutative algebraist’s perspective”. In: Trends in commutative algebra. Vol. 51. Math. Sci. Res. Inst. Publ. Cambridge: Cambridge Univ. Press, 2004, pp. 51–86. arXiv: math/0409188. url: http://dx.doi.org/10.1017/CBO9780511756382.003.

[Sna89]

Victor P. Snaith. Topological methods in Galois representation theory. Canadian Mathematical Society Series of Monographs and Advanced Texts. A Wiley-Interscience Publication. New York: John Wiley & Sons Inc., 1989, pp. xvi+299. isbn: 0-471-61752-0.

[Wei94]

Charles A. Weibel. An introduction to homological algebra. Vol. 38. Cambridge Studies in Advanced Mathematics. Cambridge University Press, Cambridge, 1994, pp. xiv+450. isbn: 0-521-43500-5; 0-521-55987-1. url: https://doi.org/10.1017/CBO9781139644136.

[Wei99]

Charles A. Weibel. “History of homological algebra”. In: History of topology. North-Holland, Amsterdam, 1999, pp. 797–836. url: https://doi.org/10.1016/B978-044482375-5/50029-8.