Applications of Finite Spaces

Finite space, より正確には finite \(T_{0}\)-space は, 有限CW複体の弱ホモトピー型を有限のデータで表すことができるため, ホモロジーやホモトピー群に関する情報が中心となる場面では, 結構使われるようになってきた。

例えば, Chacano, Morón, Ruiz del Portal の [CMPd] の Introduction には, 力学系への応用として [BMW; CMPa; Lip+] が, 群論への応用として [BM09; Bar; CMPc] が, そして geometric topology への応用として [CMPb; RM] が挙げられている。もちろん, 最初は algebraic topologist により調べられるようになったものである。

ここで力学系への応用として挙げられているものの内, Barmak らの [BMW] や Chocano らの [CMPa] は, 正確には fixed point theory に関することである。

また, Mrozek らの [Lip+] は discrete Morse theory の拡張に関することである。 Mrozek らは [Mro17] で Conley index theory を含む形で discrete Morse theory を拡張したが, それを finite space に拡張している。 Mrozek らは [Dey+] でも, simplicial complex 上の combinatorial dynamical systems を定義し, それを finite space を用いて調べている。

Cerdeiro と Minian [CM14] は, Whitehead の「2次元 \(K(\pi ,1)\) の subcomplex が \(K(\pi ,1)\) か?」という 問題 [Whi41] に finite space を応用することを考えている。

Finite space から作った species を調べたものとして, [FFM17; Aya22] などがある。

他に, finite space が使われている例としては, Janelidze と Sobral の位相空間の圏における descent に関する仕事 [JS02a; JS02b] がある。

References

[Aya22]

Mohamed Ayadi. “Twisted pre-Lie algebras of finite topological spaces”. In: Comm. Algebra 50.5 (2022), pp. 2115–2138. arXiv: 2105. 01323. url: https://doi.org/10.1080/00927872.2021.1999461.

[Bar]

Jonathan A. Barmak. Automorphism groups of finite posets II. arXiv: 2008.04997.

[BM09]

Jonathan Ariel Barmak and Elias Gabriel Minian. “Automorphism groups of finite posets”. In: Discrete Math. 309.10 (2009), pp. 3424–3426. url: https://doi.org/10.1016/j.disc.2008.09.026.

[BMW]

Jonathan Ariel Barmak, Marian Mrozek, and Thomas Wanner. A Lefschetz fixed point theorem for multivalued maps of finite spaces. arXiv: 1808.08985.

[CM14]

Manuela Ana Cerdeiro and Elias Gabriel Minian. “A new approach to Whitehead’s asphericity question”. In: J. Homotopy Relat. Struct. 9.2 (2014), pp. 339–348. arXiv: 1203.5348. url: https://doi.org/10.1007/s40062-013-0031-x.

[CMPa]

Pedro J. Chocano, Manuel A. Morón, and Francisco R. Ruiz del Portal. Coincidence theorems for finite topological spaces. arXiv: 2010.12804.

[CMPb]

Pedro J. Chocano, Manuel A. Morón, and Francisco R. Ruiz del Portal. Computational approximations of compact metric spaces. arXiv: 2107.11271.

[CMPc]

Pedro J. Chocano, Manuel A. Morón, and Francisco R. Ruiz del Portal. On some topological realizations of groups and homomorphisms. arXiv: 2011.07257.

[CMPd]

Pedro J. Chocano, Manuel A. Morón, and Francisco R. Ruiz del Portal. Shape of compacta as extension of weak homotopy of finite spaces. arXiv: 2110.02574.

[Dey+]

Tamal K. Dey et al. Persistent Homology of Morse Decompositions in Combinatorial Dynamics. arXiv: 1801.06590.

[FFM17]

Frédéric Fauvet, Loı̈c Foissy, and Dominique Manchon. “The Hopf algebra of finite topologies and mould composition”. In: Ann. Inst. Fourier (Grenoble) 67.3 (2017), pp. 911–945. arXiv: 1503.03820. url: http://aif.cedram.org/item?id=AIF_2017__67_3_911_0.

[JS02a]

George Janelidze and Manuela Sobral. “Finite preorders and topological descent. I”. In: J. Pure Appl. Algebra 175.1-3 (2002). Special volume celebrating the 70th birthday of Professor Max Kelly, pp. 187–205. url: http://dx.doi.org/10.1016/S0022-4049(02)00134-2.

[JS02b]

George Janelidze and Manuela Sobral. “Finite preorders and topological descent. II. Étale descent”. In: J. Pure Appl. Algebra 174.3 (2002), pp. 303–309. url: http://dx.doi.org/10.1016/S0022-4049(02)00046-4.

[Lip+]

Michał Lipiński, Jacek Kubica, Marian Mrozek, and Thomas Wanner. Conley-Morse-Forman theory for generalized combinatorial multivector fields on finite topological spaces. arXiv: 1911.12698.

[Mro17]

Marian Mrozek. “Conley-Morse-Forman theory for combinatorial multivector fields on Lefschetz complexes”. In: Found. Comput. Math. 17.6 (2017), pp. 1585–1633. arXiv: 1506 . 00018. url: https://doi.org/10.1007/s10208-016-9330-z.

[RM]

Diego Mondéjar Ruiz and Manuel A. Morón. Reconstruction of compacta by finite approximations and Inverse Persistence. arXiv: 1802.04331.

[Whi41]

J. H. C. Whitehead. “On adding relations to homotopy groups”. In: Ann. of Math. (2) 42 (1941), pp. 409–428. url: https://doi.org/10.2307/1968907.