Applications of Finite Spaces

Finite space, より正確には finite \(T_{0}\)-space は, 有限CW複体の弱ホモトピー型を有限のデータで表すことができるため, ホモロジーやホモトピー群に関する情報が中心となる場面では, 結構使われるようになってきた。

例えば, Chacano, Morón, Ruiz del Portal の [CMPc] の Introduction には, 力学系への応用として [BMW; CMPb; Lip+23] が, 群論への応用として [BM09; Bar; CMR22b] が, そして geometric topology への応用として [CMR22a; RM21] が挙げられている。もちろん, 最初は algebraic topologist により調べられるようになったものである。

ここで力学系への応用として挙げられているものの内, Barmak らの [BMW] や Chocano らの [CMPb] は, 正確には fixed point theory に関することである。

また, Mrozek らの [Lip+23] は discrete Morse theory の拡張に関することである。 Mrozek らは [Mro17] で Conley index theory を含む形で discrete Morse theory を拡張したが, それを finite space に拡張している。 Mrozek らは [Dey+19] でも, simplicial complex 上の combinatorial dynamical systems を定義し, それを finite space を用いて調べている。

Cerdeiro と Minian [CM14] は, Whitehead の「2次元 \(K(\pi ,1)\) の subcomplex が \(K(\pi ,1)\) か?」という 問題 [Whi41] に finite space を応用することを考えている。

Finite space から作った species を調べたものとして, [FFM17; Aya22] などがある。

Janelidze と Sobral は, 位相空間の圏における descent に関する仕事 [JS02a; JS02b] で使っている。

Chocano と Morón と Ruiz del Portal [CMPa] は, shape theory への組み合せ論的アプローチのために finite \(T_{0}\)-space を使うことを考えている。

References

[Aya22]

Mohamed Ayadi. “Twisted pre-Lie algebras of finite topological spaces”. In: Comm. Algebra 50.5 (2022), pp. 2115–2138. arXiv: 2105.01323. url: https://doi.org/10.1080/00927872.2021.1999461.

[Bar]

Jonathan A. Barmak. Automorphism groups of finite posets II. arXiv: 2008.04997.

[BM09]

Jonathan Ariel Barmak and Elias Gabriel Minian. “Automorphism groups of finite posets”. In: Discrete Math. 309.10 (2009), pp. 3424–3426. url: https://doi.org/10.1016/j.disc.2008.09.026.

[BMW]

Jonathan Ariel Barmak, Marian Mrozek, and Thomas Wanner. A Lefschetz fixed point theorem for multivalued maps of finite spaces. arXiv: 1808.08985.

[CM14]

Manuela Ana Cerdeiro and Elias Gabriel Minian. “A new approach to Whitehead’s asphericity question”. In: J. Homotopy Relat. Struct. 9.2 (2014), pp. 339–348. arXiv: 1203.5348. url: https://doi.org/10.1007/s40062-013-0031-x.

[CMPa]

Pedro J. Chocano, Manuel A. Morón, and Francisco R. Ruiz del Portal. A combinatorial description of shape theory. arXiv: 2205. 03034.

[CMPb]

Pedro J. Chocano, Manuel A. Morón, and Francisco R. Ruiz del Portal. Coincidence theorems for finite topological spaces. arXiv: 2010.12804.

[CMPc]

Pedro J. Chocano, Manuel A. Morón, and Francisco R. Ruiz del Portal. Shape of compacta as extension of weak homotopy of finite spaces. arXiv: 2110.02574.

[CMR22a]

Pedro J. Chocano, Manuel A. Morón, and Francisco R. Ruiz del Portal. “Computational approximations of compact metric spaces”. In: Phys. D 433 (2022), Paper No. 133168, 15. arXiv: 2107.11271. url: https://doi.org/10.1016/j.physd.2022.133168.

[CMR22b]

Pedro J. Chocano, Manuel A. Morón, and Francisco R. Ruiz del Portal. “On some topological realizations of groups and homomorphisms”. In: Trans. Amer. Math. Soc. 375.12 (2022), pp. 8635–8649. arXiv: 2011.07257. url: https://doi.org/10.1090/tran/8719.

[Dey+19]

Tamal K. Dey, Mateusz Juda, Tomasz Kapela, Jacek Kubica, and Marian Lipiński Michałand Mrozek. “Persistent homology of Morse decompositions in combinatorial dynamics”. In: SIAM J. Appl. Dyn. Syst. 18.1 (2019), pp. 510–530. arXiv: 1801.06590. url: https://doi.org/10.1137/18M1198946.

[FFM17]

Frédéric Fauvet, Loı̈c Foissy, and Dominique Manchon. “The Hopf algebra of finite topologies and mould composition”. In: Ann. Inst. Fourier (Grenoble) 67.3 (2017), pp. 911–945. arXiv: 1503.03820. url: http://aif.cedram.org/item?id=AIF_2017__67_3_911_0.

[JS02a]

George Janelidze and Manuela Sobral. “Finite preorders and topological descent. I”. In: J. Pure Appl. Algebra 175.1-3 (2002). Special volume celebrating the 70th birthday of Professor Max Kelly, pp. 187–205. url: http://dx.doi.org/10.1016/S0022-4049(02)00134-2.

[JS02b]

George Janelidze and Manuela Sobral. “Finite preorders and topological descent. II. Étale descent”. In: J. Pure Appl. Algebra 174.3 (2002), pp. 303–309. url: http://dx.doi.org/10.1016/S0022-4049(02)00046-4.

[Lip+23]

Michał Lipiński, Jacek Kubica, Marian Mrozek, and Thomas Wanner. “Conley-Morse-Forman theory for generalized combinatorial multivector fields on finite topological spaces”. In: J. Appl. Comput. Topol. 7.2 (2023), pp. 139–184. arXiv: 1911.12698. url: https://doi.org/10.1007/s41468-022-00102-9.

[Mro17]

Marian Mrozek. “Conley-Morse-Forman theory for combinatorial multivector fields on Lefschetz complexes”. In: Found. Comput. Math. 17.6 (2017), pp. 1585–1633. arXiv: 1506 . 00018. url: https://doi.org/10.1007/s10208-016-9330-z.

[RM21]

Diego Mondéjar Ruiz and Manuel A. Morón. “Reconstruction of compacta by finite approximations and inverse persistence”. In: Rev. Mat. Complut. 34.2 (2021), pp. 559–584. arXiv: 1802.04331. url: https://doi.org/10.1007/s13163-020-00356-w.

[Whi41]

J. H. C. Whitehead. “On adding relations to homotopy groups”. In: Ann. of Math. (2) 42 (1941), pp. 409–428. url: https://doi.org/10.2307/1968907.