Etale Homotopy Theory

Étale homotopy theory とは, scheme に対し, その étale fundamental group や étale cohomology などの情報を持つ pro-simplicial set を構成し, その pro-simplicial set の pro-homotopy type を調べるもので, 代数幾何学へのホモトピー論的アプローチの一つである。

• étale fundamental group
• étale cohomology

Étale site の hypercover を用いて定義されるが, Artin と Mazur の本 [AM86] ではより一般的な site から pro-simplicial set を構成する方法が提案されて, Verdier functor と呼ばれている。

• hypercover
• Verdier functor

\(\bm {C}\) を site, その hypercover の成す category を \(\mathrm {HR}(\bm {C})\) としたとき, Verdier functor は \[ \mathrm {HR}(\bm {C}) \rarrow {} \category {Set}^{\Delta ^{\op }} \] という形の functor であるが, 残念ながら, \(\mathrm {HR}(\bm {C})\) は cofiltered ではないので, この functor を pro-simplicial set とみなすことはできない。 幸い \(\mathrm {HR}(\bm {C})\) の homotopy category は cofiltered になるので, Artin と Mazur は, homotopy category に落とすことで, pro-simplicial set を得た。 もちろん, homotopy category に落さないで, 直接 simplicial set の pro-object の category を扱った方が, ホモトピー論的な構成が行なえるので便利である。

Friedlander の [Fri82] は, この欠点を geometric point を用いた rigid hypercover という概念を用いることにより解決することを提案するものである。 これにより, (simplicial) scheme の étale topological type が定義できたわけであるが, rigid hypercover は scheme に対してしか定義できないので, 一般の site の pro-homotopy type に拡張することは難しい。Artin と Mazur は一般の site を扱っていたのに。

Barnea と Schlank [BS16] は, この問題を次のように解決している。 まず, simplicial sheaf の category が weak fibration category を成すことを示し, weak fibration category はその pro-category の上の model structure に拡張できることを示している。これにより, pro-simplicial sheaf の成す model category が得られるわけであるが, この model structure を用い, étale homotopy type を Artin-Mazur の構成 (Verdier functor) の derived functor として定義することを提案している。 これは, hypercover しか用いていないので, 任意の site で定義できる。

より新しい方法として, Bachmann と Østvær [BØ22] は, Hoyois の [Hoy18] の section 5 を見るように言っている。 \(\mathrm {HR}(\bm {C})\) は \((\infty ,1)\)-category とみなすと cofiltered になるので, 全て \((\infty ,1)\)-category の枠組みで考えると homotopy category を取らなくてもよい, ということらしい。 これは, \((\infty ,1)\)-category 有用性を示す良い例だと思う。

\((\infty ,1)\)-category の文脈で扱ったものとして, Barwick, Glasman, Haine の [BGH] もある。 彼等の目的は, stratified étale homotopy type とその delocalization を定義することであるが。

• stratified étale homotopy type

高次のホモトピー群について調べたものは, あまり見当らないが, Pridham は [Pri11] で étale homotopy group への Galois 群の作用を調べている。

ホモトピー型が定義できるということは, 位相空間に対する様々な操作の類似を考えられるということである。例えば, 対称積については, Tripathy の [Tri16] で考えられている。 Dold-Thom の定理の類似も得られている。

ただ, Achinger の [Ach17] にあるように, 正標数では高次の étale homotopy group は良い情報を持ってはいないようである。Achinger は, 正標数では, 連結 affine scheme の \(2\) 次以上の étale homotopy group が消えていることを示している。

正標数でも使える修正版として Hübner と Schmidt [HS21] が tame site を定義している。Schmidt は [Sch] で tame homotopy group のホモトピー不変性を考えている。

• tame site
• tame homotopy group

正標数での étale homotopy type の精密化としては, Mondal と Reinecke [MR] の unipotent homotopy type がある。また group scheme としてホモトピー群を定義している。 彼等は, Toën の affine stack [Toë06] を用いている。

• unipotent homotopy group scheme

References

[Ach17]

Piotr Achinger. “Wild ramification and \(K(\pi , 1)\) spaces”. In: Invent. Math. 210.2 (2017), pp. 453–499. arXiv: 1701 . 03197. url: https://doi.org/10.1007/s00222-017-0733-5.

[AM86]

M. Artin and B. Mazur. Etale homotopy. Vol. 100. Lecture Notes in Mathematics. Reprint of the 1969 original. Springer-Verlag, Berlin, 1986, pp. iv+169. isbn: 3-540-04619-4.

[BGH]

Clark Barwick, Saul Glasman, and Peter Haine. Exodromy. arXiv: 1807.03281.

[BØ22]

Tom Bachmann and Paul Arne Østvær. “Topological models for stable motivic invariants of regular number rings”. In: Forum Math. Sigma 10 (2022), Paper No. e1, 27 pp. arXiv: 2102.01618. url: https://doi.org/10.1017/fms.2021.76.

[BS16]

Ilan Barnea and Tomer M. Schlank. “A projective model structure on pro-simplicial sheaves, and the relative étale homotopy type”. In: Adv. Math. 291 (2016), pp. 784–858. arXiv: 1109.5477. url: https://doi.org/10.1016/j.aim.2015.11.014.

[Fri82]

Eric M. Friedlander. Étale homotopy of simplicial schemes. Vol. 104. Annals of Mathematics Studies. Princeton, N.J.: Princeton University Press, 1982, pp. vii+190. isbn: 0-691-08288-X; 0-691-08317-7.

[Hoy18]

Marc Hoyois. “Higher Galois theory”. In: J. Pure Appl. Algebra 222.7 (2018), pp. 1859–1877. arXiv: 1506.07155. url: https://doi.org/10.1016/j.jpaa.2017.08.010.

[HS21]

Katharina Hübner and Alexander Schmidt. “The tame site of a scheme”. In: Invent. Math. 223.2 (2021), pp. 379–443. arXiv: 2004. 05468. url: https://doi.org/10.1007/s00222-020-00993-4.

[MR]

Shubhodip Mondal and Emanuel Reinecke. Unipotent homotopy theory of schemes. arXiv: 2302.10703.

[Pri11]

Jonathan P. Pridham. “Galois actions on homotopy groups of algebraic varieties”. In: Geom. Topol. 15.1 (2011), pp. 501–607. arXiv: 0712.0928. url: http://dx.doi.org/10.2140/gt.2011.15.501.

[Sch]

Alexander Schmidt. Homotopy invariance of tame homotopy groups of regular schemes. arXiv: 2111.06954.

[Toë06]

Bertrand Toën. “Champs affines”. In: Selecta Math. (N.S.) 12.1 (2006), pp. 39–135. arXiv: math/0012219. url: http://dx.doi.org/10.1007/s00029-006-0019-z.

[Tri16]

Arnav Tripathy. The Symmetric Power and Etale Realization Functors Commute. Thesis (Ph.D.)–Stanford University. ProQuest LLC, 2016, 46 pp. isbn: 979-8662-54897-8. arXiv: 1502.01104.