Hypercover

Hypercover は, Verdier により [SGA4-272] の Éxpose V の appendix で, site 上 の層のコホモロジーを記述するために導入された simplicial obect である。 Simplicial object の coskeleton を用いて定義される。

• coskeleton

Artin と Mazur の étale homotopy theory で使われていることで知った。 Hypercover については, Artin と Mazur の本 [AM86] の前に Conrad の cohomological descent についての [Con] を読むのが良いと思う。

基本的な性質として, Verdier hypercovering theorem がある。

• Verdier hypercovering theorem

元の Verdier の定理は, sheaf cohomology を hypercover から得られる simplicial Abelian group の cohomology の hypercover に関する極限で表すものだった。つまり \[ H^{q}(C,\cF ) \cong \colim _{K\in \mathrm {HR}(C)} H^{q}(\cF (K)) \] である。ここで, \(\mathrm {HR}(C)\) は site \(C\) 上の hypercover の成す圏である。

かなり古くから, simplicial presheaf のホモトピー論の言葉に翻訳されて使われてきたようで, Ken Brown の [Bro73] に既に登場する。 そこでは, category of fibrant objects に関する Theorem 1 から Verdier hypercovering theorem が得られることが示されている。 Ken Brown の論文では simplicial presheaf で考えられているが, その方向では Jardine の[Jar12] を見るのが良いだろう。

この Verdier hypercovering theorem と Ken Brown による observation は, Jardine [Jar87] により導入された simplicial presheaf の圏の Grothendieck topology を用いた model structure の元になっているようである。 その文脈では, local acyclic fibration を用いて hypercover が定義される。

• simplicial presheaf の hypercover

そして, それを元に motivic homotopy theory の基礎となる simplicial presheaf の model category を構成することができる。 Dugger と Isaksen の [DI04] や Dugger, Hollander, Isaksen の [DHI04] など。

References

[AM86]

M. Artin and B. Mazur. Etale homotopy. Vol. 100. Lecture Notes in Mathematics. Reprint of the 1969 original. Springer-Verlag, Berlin, 1986, pp. iv+169. isbn: 3-540-04619-4.

[Bro73]

Kenneth S. Brown. “Abstract homotopy theory and generalized sheaf cohomology”. In: Trans. Amer. Math. Soc. 186 (1973), pp. 419–458. url: https://doi.org/10.2307/1996573.

[Con]

Brian Conrad. Cohomological Descent. url: https://math.stanford.edu/~conrad/papers/hypercover.pdf.

[DHI04]

Daniel Dugger, Sharon Hollander, and Daniel C. Isaksen. “Hypercovers and simplicial presheaves”. In: Math. Proc. Cambridge Philos. Soc. 136.1 (2004), pp. 9–51. arXiv: math/ 0205027. url: https://doi.org/10.1017/S0305004103007175.

[DI04]

Daniel Dugger and Daniel C. Isaksen. “Weak equivalences of simplicial presheaves”. In: Homotopy theory: relations with algebraic geometry, group cohomology, and algebraic \(K\)-theory. Vol. 346. Contemp. Math. Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2004, pp. 97–113. arXiv: math/0205025. url: https://doi.org/10.1090/conm/346/06292.

[Jar12]

J. F. Jardine. “The Verdier hypercovering theorem”. In: Canad. Math. Bull. 55 (2012), pp. 319–328. url: https://doi.org/10.4153/CMB-2011-093-x.

[Jar87]

J. F. Jardine. “Simplicial presheaves”. In: J. Pure Appl. Algebra 47.1 (1987), pp. 35–87. url: http://dx.doi.org/10.1016/0022-4049(87)90100-9.

[SGA4-272]

Théorie des topos et cohomologie étale des schémas. Tome 2. Lecture Notes in Mathematics, Vol. 270. Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois-Marie 1963–1964 (SGA 4), Dirigé par M. Artin, A. Grothendieck et J. L. Verdier. Avec la collaboration de N. Bourbaki, P. Deligne et B. Saint-Donat. Berlin: Springer-Verlag, 1972, pp. iv+418.