Homology of Posets

Poset をトポロジーの道具を用いて調べるときの基本は, order complex である。しかし, poset に最大元や最小元があると, その order complex は可縮になってしまうので, ホモロジーを考えたりするときは, 最大元と最小元を除いた poset を考えることもある。

Kozlov は, [Koz01] では poset の (order complex の) homology を計算する spectral sequence を考えている。 [Koz06] では, poset からできる単体的複体がより小さな poset の単体的複体に collapse するための条件を求めている。

Kozlov の論文 [Koz01] では, partition-type poset への応用が述べられているが, partition-type poset のホモロジー自体へは, 別のアプローチがある。 Operad を用いたものである。Fresse の [Fre04] の Prolog には歴史的な経緯が書いてあるが, それによると operad との関連に最初に気づいたのは, Joyal [Joy86] らしい。

• Partition poset のホモロジーと Lie operad との関係

その関係を拡張し, 一般の operad に対し, 対応する poset を定義したのは, Vallette [Val07] である。 また, ホモロジーが最高次元に集中するための必要十分条件が, operad が Koszul であること, を示している。

関連した poset の cohomology としては, Bacławski の [Bac75] で導入された Whitney (co)homology というものもある。

• Whitney (co)homology

González D’Leon と Wachs の [DW] では, Sundaram の [Sun94] と Wachs の [Wac99] が挙げられている。 Orlik-Solomon algebra とも関係がある。

一方, poset に Alexandrov topology という位相を入れて, 位相空間として扱うこともできる。 よって, 位相空間としてのホモロジーやコホモジーが考えられる。 層のコホモロジーについては, Brun と Römer ら [BBR07; BR08] などにより調べられている。 そのとき重要な事実は, poset \(P\) 上の presheaf, つまり contravariant functor と Alexandroff topology により位相空間 \(A(P)\) とみなしたものの上の sheaf が1対1に対応することである。

Everitt と Turner [ET09; ET12] は, Khovanov homology を定義する枠組みを poset 上の precosheaf のホモロジーとして一般化しようとしている。

もっとも, precosheaf や cosheaf のホモロジーは, 既に Deheuvels の [Deh62] で 1960年代に調べられているものであるが。

References

[Bac75]

Kenneth Bacławski. “Whitney numbers of geometric lattices”. In: Advances in Math. 16 (1975), pp. 125–138. url: https://doi.org/10.1016/0001-8708(75)90145-0.

[BBR07]

Morten Brun, Winfried Bruns, and Tim Römer. “Cohomology of partially ordered sets and local cohomology of section rings”. In: Adv. Math. 208.1 (2007), pp. 210–235. arXiv: math/0502517. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.aim.2006.02.005.

[BR08]

Morten Brun and Tim Römer. “On algebras associated to partially ordered sets”. In: Math. Scand. 103.2 (2008), pp. 169–185. arXiv: math/0507372.

[Deh62]

René Deheuvels. “Homologie des ensembles ordonnés et des espaces topologiques”. In: Bull. Soc. Math. France 90 (1962), pp. 261–321. url: http://www.numdam.org/item?id=BSMF_1962__90__261_0.

[DW]

Rafael S. González D’León and Michelle L. Wachs. On the (co)homology of the poset of weighted partitions. arXiv: 1309.5527.

[ET09]

Brent Everitt and Paul Turner. “Homology of coloured posets: a generalisation of Khovanov’s cube construction”. In: J. Algebra 322.2 (2009), pp. 429–448. arXiv: 0711.0103. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.jalgebra.2009.04.005.

[ET12]

Brent Everitt and Paul Turner. “Bundles of coloured posets and a Leray-Serre spectral sequence for Khovanov homology”. In: Trans. Amer. Math. Soc. 364.6 (2012), pp. 3137–3158. arXiv: 0808.1686. url: http://dx.doi.org/10.1090/S0002-9947-2012-05459-6.

[Fre04]

Benoit Fresse. “Koszul duality of operads and homology of partition posets”. In: Homotopy theory: relations with algebraic geometry, group cohomology, and algebraic \(K\)-theory. Vol. 346. Contemp. Math. Providence, RI: Amer. Math. Soc., 2004, pp. 115–215. arXiv: math/0301365.

[Joy86]

André Joyal. “Foncteurs analytiques et espèces de structures”. In: Combinatoire énumérative (Montreal, Que., 1985/Quebec, Que., 1985). Vol. 1234. Lecture Notes in Math. Berlin: Springer, 1986, pp. 126–159. url: http://dx.doi.org/10.1007/BFb0072514.

[Koz01]

Dmitry N. Kozlov. “Spectral sequences on combinatorial simplicial complexes”. In: J. Algebraic Combin. 14.1 (2001), pp. 27–48. url: http://dx.doi.org/10.1023/A:1011209803008.

[Koz06]

Dmitry N. Kozlov. “Collapsing along monotone poset maps”. In: Int. J. Math. Math. Sci. (2006), Art. ID 79858, 8. arXiv: math/0503416.

[Sun94]

Sheila Sundaram. “The homology representations of the symmetric group on Cohen-Macaulay subposets of the partition lattice”. In: Adv. Math. 104.2 (1994), pp. 225–296. url: https://doi.org/10.1006/aima.1994.1030.

[Val07]

Bruno Vallette. “Homology of generalized partition posets”. In: J. Pure Appl. Algebra 208.2 (2007), pp. 699–725. arXiv: math/0405312. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.jpaa.2006.03.012.

[Wac99]

Michelle L. Wachs. “Whitney homology of semipure shellable posets”. In: J. Algebraic Combin. 9.2 (1999), pp. 173–207. url: http://dx.doi.org/10.1023/A:1018694401498.