Enriched Categories

Enriched category とは, 2つの object の間の 「morphism の集合」が, ある category の object になっているようなものである。例えば, 局所コンパクトな位相空間と連続写像の圏では, 2つの object \(X\) と \(Y\) の間 の morphism 全体の集合 \(\mathrm {Map}(X,Y)\) にコンパクト開位相を入れることにより, 位相空間の圏で enrich された圏とみなすことができる。

そのような場合, morphism の合成を定義するためには, 「morphism の成す object」 の積が必要になるので, 「morphism の成す object」は, ある monoidal category \(\bm {V}\) の object になっている必要がある。のような場合, \(\bm {V}\) により enrich された category という。そのような一般の enriched category についてまとめたものとしては, まず Kelly の [Kel82] がある。他にも, Borceux の本 [Bor94] の第2巻第6章などがある。

  • \(\bm {V}\)で enrich された category の間の \(\bm {V}\)-functor
  • \(\bm {V}\)-functor の間の \(\bm {V}\)-natural transformation

代数的な例としては, ホモロジー代数で現われる additive category や Abelian category などがある。他にも dg category など, 現代的なホモロジー代数では, enriched category がよく使われる。

これらを調べるときには, enriched category の一般的な性質を知っていると見通しがよくなることも多い。 例えば, dg category の category が symmetric monoidal category になるということは, 次の性質から分かる。

  • symmetric monoidal category で enrich された category の category は, symmetric monoidal category の構造を持つ。

Enriched category の Yoneda Lemma については, Hinich [Hin16] が考えている。

圏 \(C\) が自分自身で enrich されているときには, internal Hom functor が定義されていると考えることができる。そのようなものを closed monoidal category と呼ぶ。特に, monoidal structure が直積で与えられているときには, Cartesian closed category と呼ばれる。各 object \(x\) に対し comma category \(C\downarrow x\) が Cartesian closed であるときには, locally Cartesian closed と呼ばれる。 Monoidal category になっていることを仮定せずに, internal Hom functor を持つ category を定義することもできる。Eilenberg と Kelly の closed category [EK66] である。

Enriched category での (co)limit については, Kelly の [Kel82] に既に述べられている。そこでは indexed (co)limit と呼ばれていているが, Kelly と Schmitt の [KS05] では, weighted (co)limit と呼ばれている。現在では, weighted (co)limit と呼ばれることの方が多いように思う。

  • indexed (co)limit あるいは weighted (co)limit

代数的トポロジーでは, 例えば, McClure と Schwänzl と Vogt の topological Hochschild homology に関する論文 [MSV97] や Panov と Ray と Vogt の Davis-Januszkiewicz space に関する論文 [PRV04] などで使われている。

Enriched category での Kan extension については, Kelly の本の他に Dubuc の [Dub70] と Street の [Str74] がある。Koudenburg [Kou14] はそれらを統一するには, double category を使うべきだと言っている。

  • enriched category での Kan extension

Monoidal category には 様々な一般化が知られているので, それらを用いた enriched category の一般化も考えられている。例えば, lax monoidal category により enrich された category は, Batanin と Weber の [BW11] で使われている。 Symmetric monoidal category の category で enrich された bicategory は, Guillou の [Gui10] で調べられている。

Batanin と Markl [BM12] によると, enriched category の monoidal structure を考えるためには, 2つの monoidal structure を持つ duoidal category による enrichment を考えるのがよいようである。

また, object が1つの bicategory が monoidal category であることから, bicategory で enrich された category を考えることもできる。これは, Street の [Str05] によると, かなり古く (80年代) から考えられてきたようである。例えば, Walter の [Wal82] や Betti と Carboni の [BC82] などがある。更に, そのような構造が最初に現れたのは Bénabou の polyad [Bén67] らしい。

  • bicategory で enrich された category

文献としては, 上記のものの他には, Kelly, Labella, Schmitt, Street の [Kel+02] がある。

別の方向として, enrich される category を bicategory にする, というものがある。特別な場合として, enrich された monoidal category が考えられる。

Campbell [Cam18] は, skew-monoidal category で enrich された category を考えるために, skew-enriched category の概念を導入した。

  • skew-enriched category

より一般に monoidal bicategory で enrich された bicategory を考えることもできる。Hoffnung の [Hof] など。

  • enriched bicategory

Monoidal bicategory による enrichment を, 高次の圏のモデルを構成するために使おうとしているのは, Cheng と Gurski [CG14] である。Strict 2-category が small category の category で enrich された category であることから, weak enrichment を取る操作を繰り替えせれば, 高次の圏が構成できる。その際に Lack の導入した icon という概念を用いている。

現代的な扱いとしては, Bacard の [Bacc] の方向がよいのだろうか。 Bicategory の中で weak equivalence の class を定義し, そのデータを用いた bicategory で enrich された category を考えている。 Leinster の homotopy monoidSegal category などをこの枠組みで扱えるらしい。

Bacard は, 更に [Baca] で monoidal model category で weakly enriched された category を考えている。 Monoidal model category で enrich された category の代表は simplicial category であり, そのホモトピー論は Dwyer と Kan の研究 [DK80c; DK80a; DK80b] を元によく研究されている。一般の monoidal model category で enrich された category のホモトピー 論も同様に構築できるはずである。そのような方向での研究として Lack と Rosicky の [LR16] がある。

更に, monoidal \((\infty ,1)\)-category で weakly enrich された \((\infty ,1)\)-category も考えられている。 Gepner と Haugseng の [GH15] である。別の approach として, co-Segal enriched category という概念を導入した, Bacard の [Bacb] がある。使われているのは, 2-category と model category である。

References

[Baca]

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[Bacb]

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[Bacc]

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[BC82]

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[Bén67]

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[BM12]

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