Enriched Categories

Enriched category とは, 2つの object の間の 「morphism の集合」が, ある category の object になっているようなものである。例えば, 局所コンパクトな位相空間と連続写像の圏では, 2つの object \(X\) と \(Y\) の間 の morphism 全体の集合 \(\mathrm {Map}(X,Y)\) にコンパクト開位相を入れることにより, 位相空間の圏で enrich された圏とみなすことができる。

そのような場合, morphism の合成を定義するためには, 「morphism の成す object」 の積が必要になるので, 「morphism の成す object」は, ある monoidal category \(\bm {V}\) の object になっている必要がある。 このとき, \(\bm {V}\) により enrich された category という。そのような一般の enriched category についてまとめたものとしては, まず Kelly の [Kel82] がある。他にも, Borceux の本 [Bor94] の第2巻第6章などがある。

• \(\bm {V}\)で enrich された category の間の \(\bm {V}\)-functor
• \(\bm {V}\)-functor の間の \(\bm {V}\)-natural transformation

日本語で, 「豊穣圏」と訳されているのを見かけるが, あまり良い翻訳とは思えない。「\(\bm {V}\) で enrich された」と言いたいときに 「\(\bm {V}\) で豊穣された」と書くと, 意味が分からない。「\(\bm {V}\) で装飾された」と言った方が, 定義の意味が分り易いと思う。 では, enriched category をどう訳すかであるが, 「装飾された圏」や「装飾付き圏」で良いと思う。

代数的な例としては, ホモロジー代数で現われる additive category や Abelian category などがある。他にも dg category など, 現代的なホモロジー代数では, enriched category がよく使われる。

• enriched category の例

これらを調べるときには, enriched category の一般的な性質を知っていると見通しがよくなることも多い。 例えば, dg category の category が symmetric monoidal category になるということは, 次の性質から分かる。

• symmetric monoidal category で enrich された category の category は, symmetric monoidal category の構造を持つ。

Enriched category の Yoneda Lemma については, Hinich [Hin16] が考えている。

圏 \(C\) が自分自身で enrich されているときには, internal Hom functor が定義されていると考えることができる。そのようなものを closed monoidal category と呼ぶ。特に, monoidal structure が直積で与えられているときには, Cartesian closed category と呼ばれる。各 object \(x\) に対し comma category \(C\downarrow x\) が Cartesian closed であるときには, locally Cartesian closed と呼ばれる。 Monoidal category になっていることを仮定せずに, internal Hom functor を持つ category を定義することもできる。Eilenberg と Kelly の closed category [EK66] である。

• closed monoidal category
• Cartesian closed category
• locally Cartesian closed category
• closed category

Enriched category での (co)limit については, Kelly の [Kel82] に既に述べられている。そこでは indexed (co)limit と呼ばれていているが, Kelly と Schmitt の [KS05] では, weighted (co)limit と呼ばれている。現在では, weighted (co)limit と呼ばれることの方が多いように思う。

• indexed (co)limit あるいは weighted (co)limit

代数的トポロジーでは, 例えば, McClure と Schwänzl と Vogt の topological Hochschild homology に関する論文 [MSV97] や Panov と Ray と Vogt の Davis-Januszkiewicz space に関する論文 [PRV04] などで使われている。

Enriched category での Kan extension については, Kelly の本の他に Dubuc の [Dub70] と Street の [Str74] がある。Koudenburg [Kou14] はそれらを統一するには, double category を使うべきだと言っている。

• enriched category での Kan extension

Monoidal category には 様々な一般化が知られているので, それらを用いた enriched category の一般化も考えられている。

• generalizations and variations of enriched categories

ホモトピー論的な視点から category を考えるときには nerve が基本であるが, enriched category の nerve については, Lowen と Mertens [LM] で templicial object を用いた templicial nerve を定義し, それを用いることを提案している。

• enriched category の templicial nerve

更に, monoidal \((\infty ,1)\)-category で weakly enrich された \((\infty ,1)\)-category も考えられている。 Gepner と Haugseng の [GH15] である。別の approach として, co-Segal enriched category という概念を導入した, Bacard の [Bac] がある。使われているのは, 2-category と model category である。

References

[Bac]

Hugo V. Bacard. Pursuing Lax Diagrams and Enrichment. arXiv: 1312.7833.

[Bor94]

Francis Borceux. Handbook of categorical algebra. 2. Vol. 51. Encyclopedia of Mathematics and its Applications. Categories and structures. Cambridge: Cambridge University Press, 1994, pp. xviii+443. isbn: 0-521-44179-X.

[Dub70]

Eduardo J. Dubuc. Kan extensions in enriched category theory. Lecture Notes in Mathematics, Vol. 145. Berlin: Springer-Verlag, 1970, pp. xvi+173.

[EK66]

Samuel Eilenberg and G. Max Kelly. “Closed categories”. In: Proc. Conf. Categorical Algebra (La Jolla, Calif., 1965). New York: Springer, 1966, pp. 421–562.

[GH15]

David Gepner and Rune Haugseng. “Enriched \(\infty \)-categories via non-symmetric \(\infty \)-operads”. In: Adv. Math. 279 (2015), pp. 575–716. arXiv: 1312.3178. url: https://doi.org/10.1016/j.aim.2015.02.007.

[Hin16]

Vladimir Hinich. “Enriched Yoneda lemma”. In: Theory Appl. Categ. 31 (2016), Paper No. 29, 833–838. arXiv: 1511.00857.

[Kel82]

Gregory Maxwell Kelly. Basic concepts of enriched category theory. Vol. 64. London Mathematical Society Lecture Note Series. Cambridge: Cambridge University Press, 1982, p. 245. isbn: 0-521-28702-2.

[Kou14]

Seerp Roald Koudenburg. “On pointwise Kan extensions in double categories”. In: Theory Appl. Categ. 29 (2014), No. 27, 781–818. arXiv: 1402.0250.

[KS05]

G. M. Kelly and V. Schmitt. “Notes on enriched categories with colimits of some class”. In: Theory Appl. Categ. 14 (2005), no. 17, 399–423. arXiv: math/0509102.

[LM]

Wendy Lowen and Arne Mertens. Enriched quasi-categories and the templicial homotopy coherent nerve. arXiv: 2302.02484.

[MSV97]

J. McClure, R. Schwänzl, and R. Vogt. “\(THH(R)\cong R\otimes S^{1}\) for \(E_{\infty }\) ring spectra”. In: J. Pure Appl. Algebra 121.2 (1997), pp. 137–159. url: http://dx.doi.org/10.1016/S0022-4049(97)00118-7.

[PRV04]

Taras Panov, Nigel Ray, and Rainer Vogt. “Colimits, Stanley-Reisner algebras, and loop spaces”. In: Categorical decomposition techniques in algebraic topology (Isle of Skye, 2001). Vol. 215. Progr. Math. Basel: Birkhäuser, 2004, pp. 261–291. arXiv: math/0202081.

[Str74]

Ross Street. “Fibrations and Yoneda’s lemma in a \(2\)-category”. In: Category Seminar (Proc. Sem., Sydney, 1972/1973). Berlin: Springer, 1974, 104–133. Lecture Notes in Math., Vol. 420.