半順序集合は partially ordered set の略として poset と呼ばれることが多い。 日本語だと順序集合とか半順序集合とかあいまいなので,
ここでも以下ポセットと呼ぶことにする。 組み合せ論での重要な研究対象である。
例としては以下のようなものがある。
位相の中でも, 可換環 \(R\) の \(\mathrm{Spec}(R)\) の位相は特殊なので, その特徴付けも考えられている。Hochster の [Hoc69] や Lewis の
[Lew73] など。
他にも, 組み合せ論的データから様々なポセットができる。
Brady と McCammond の [BM10] では, Björner の [Bjö95] と Stanley の [Sta97] が,
基本的な文献として挙げられている。
組み合せ論的な問題から現われるポセットのclassとして以下のようなものがある。
- graded poset
- Eulerian poset
- triangular poset
- binomial poset
- Sheffer poset
ホモトピー論の視点からは, ポセットを small category とみなす方が分類空間の理論と結び付くのでよい ように思う。その視点からは,
ポセットより preordered set という概念の方が基本的に思える。
このように見ると, ポセットに関する定義や性質で small category に一般化できるものは少なくない。Leinster は, [Lei08]
で small category に対する Möbius 関数を定義している。 ポセットの Möbius 関数は, G.-C. Rota により
[Rot64]で定義されたもののようである。
Small category に対しては, その分類空間が構成できる。 ポセットの分類空間の性質については, [Qui78]の§1を見るとよい。
このように, ポセットをその分類空間を通してトポロジーの道具で調べるのは, 重要な手法である。
Möbius関数や分類空間 (order complex) は, ポセットの不変量であるが, 他にも様々な不変量が考えられている。
- Eulerian posetに対するtoric polynomial (Stanley [Sta87])
- Hetyei [Het13]のshort toric polynomial
- order polynomial [Sta70]
- order polytope と chain polytope (Stanley [Sta86])
- Ardila と Bliem と Salazar [ABS11] の marked order polytopes と marked
chain polytopes
ポセットには自然に位相が入り, \(T_0\)空間とみなすことができる。実は finite poset の圏と finite \(T_0\)空間の圏は同じものである。また
\(T_0\)空間上の層と 対応するポセット上の contravariant functor, つまり incidence algebra 上の module
を同一視することができる。
ポセットに対して次元を定義することもできる。元々 Dushnik と Miller が [DM41] で定義したものであるが, その後,
Novák [Nov63] により自然数 \(k\) に対し \(k\)-dimension という概念に拡張され ている。
\(2\)次元のものについて, finite \(T_0\)-space のトポロジーを用いて調べているの は, Barmak と Minian [BM07]
である。
順序集合に, その有限部分集合のsupとinfを取る操作が加わったものをlattice という。組み合せ論では基本的な概念である。
Posetに対する操作も色々あるが, ホモトピー論との関係では, Grothendieck construction
が重要である。組み合せ論の世界ではposet limitと呼ばれているようであるが。
Ladkani は [Lad] で flip-flop というポセットの間の関係を導入 している。
References
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Amsterdam: North-Holland, 1987, pp. 187–213.
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Richard P. Stanley. Enumerative combinatorics. Vol. 1. Vol. 49.
Cambridge Studies in Advanced Mathematics. With a foreword by
Gian-Carlo Rota, Corrected reprint of the 1986 original. Cambridge:
Cambridge University Press, 1997, pp. xii+325. isbn: 0-521-55309-1;
0-521-66351-2.
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