順序について

順序に関することも, あらゆる場面で必要になる。

日本語の本では, よく順序集合という表現を見るが, 英語では partially ordered set あるいは, poset と呼ばれる。日本語でも, ポセットと呼んだ方がよいだろう。

ポセットから反対称律を外したものを preordered set と呼ぶが, Yokura の [Yok20] では, それは proset と呼ばれている。

• preordered set あるいは proset
• partially ordered set あるいは poset
• 全順序集合 (totally ordered set)
• 整列集合 (well-ordered set)

Poset は, 関係を追加して全順序集合にすることができるが, この操作は, linear extension と呼ばれている。もちろん一意的ではないので, 与えられた poset の linear extension の集合を考えたりする。例えば [Ken+24] のように。

• linear extension

Poset の代数的トポロジーでの用途は, 大きく分けて2つある: 集合論的基礎と組み合せ論的データである。前者は, model category の理論で, small object argument などに用いられる。後者は, topological combinatorics の基礎となる。

• 順序数
• 組み合せ論的データとしての順序集合

他にも, 並列処理の理論に起源を持つ directed algebraic topology では, preordered set が使われている。

複数の「順序」を持つものとしては, 多重ループ空間の構造と関連して, Batanin が [Bat10] で定義したものがある。 \(n\)個の binary relation \(<_{0},\ldots ,<_{n-1}\) を持つものである。

• \(n\)-ordinal

一般化としては, quantum set を用いた quantum poset [KLM22] もある。

• quantum poset

References

[Bat10]

Michael A. Batanin. “Locally constant \(n\)-operads as higher braided operads”. In: J. Noncommut. Geom. 4.2 (2010), pp. 237–263. arXiv: 0804.4165. url: http://dx.doi.org/10.4171/JNCG/54.

[Ken+24]

Richard Kenyon et al. “The miracle of integer eigenvalues”. In: Funct. Anal. Appl. 58.2 (2024), pp. 182–194. arXiv: 2401.05291.

[KLM22]

Andre Kornell, Bert Lindenhovius, and Michael Mislove. “A category of quantum posets”. In: Indag. Math. (N.S.) 33.6 (2022), pp. 1137–1171. arXiv: 2101.11184. url: https://doi.org/10.1016/j.indag.2022.07.001.

[Yok20]

Shoji Yokura. “Decomposition spaces and poset-stratified spaces”. In: Tbilisi Math. J. 13.2 (2020), pp. 101–127. arXiv: 1912.00339. url: https://doi.org/10.32513/tbilisi/1593223222.