分岐被覆

被覆空間については, 基本群と関係が深いこともあり, 扱っている教科書は多いが, 分岐被覆については, 代数的トポロジーの文献ではあまり扱われていない。 Massey の本 [Mas77] の被覆空間の章の最後の Note の一つとして, 少し分岐被覆について書かれている。そこに挙げられている文献は, Fox の [Fox57] と Michael の [Mic63] である。

分岐被覆の定義には, 対称積を用いた Larry Smith [Smi83] と Dold [Dol86] のものがある。 それと関数環上の Frobenius \(n\)-homomorphism の関係を調べたのが, Buchstaber と Rees の [BR08] である。Frobenius \(n\)-homomorphism は彼等によって [BR02] で導入された概念である。

分岐被覆の分類空間が, Brand の [Bra80] で定義されている。 そのホモトピー型についても調べられている。

  • 分岐被覆の分類空間

分岐被覆が実際に使われる場面としては, Riemann面が代表的である。

  • Riemann面上の分岐被覆の branch data

Riemann面上の分岐被覆については, [EKS84], そして Pervova と Petronio の [PP06] の参考文献を見るとよい。 後者の論文は branch data の実現可能性について議論している。Branch data は, 各 branch point におけるある自然数の partition であり, 対称群の表現と関係がある。 例えば, Okounkov の [Oko00] など。\(\CP ^1\) 上の branched covering の数を数えて Hurwitz number [Eke+01] が定義される。

  • Hurwitz number

その tropical 版が [CJM] で考えられている。

Riemann面と graph の類似性から, graph の branched covering を考えているのは, Corry [Cor12] である。そこでは, Grothendieck 流の Galois 理論が展開され, étale fundamental group も定義されている。

Rieck と Yamashita の [RY] によると, closed orientable 3-manifold が \(S^3\) 上の branched covering として表せることは Alexander [Ale20] により証明されたことのようである。ただ Alexander のものは branching set が部分多様体ではないので, branching set がより綺麗になるように改良されている。 Feigin [Fei86] による Alexander の議論の解説で, branching set が link にとれることが示されているが, それ以前に Hilden [Hil76] と Montesinos [Mon76] は knot を branching set とする3重 irregular branched covering として表せることを示している。ドイツ語ではあるが, 同様のことは Hirsch [Hir74] によっ ても示されているようである。

Izmatiev と Joswig の [IJ03] は, そのデータを組み合せ論的に表わす方法を提案している。 Hilden らによる改良版 [Hil+05] は, Revista Colombiana de Matemáticas 誌の web siteから download できる。 更に著者が加わった “geometrized version” [Bru+] もある。

\(4\)次元多様体については, Piergallini の結果 [Pie95] がある。

References

[Ale20]

James W. Alexander. “Note on Riemann spaces”. In: Bull. Amer. Math. Soc. 26.8 (1920), pp. 370–372. url: http://dx.doi.org/10.1090/S0002-9904-1920-03319-7.

[BR02]

V. M. Buchstaber and E. G. Rees. “The Gelfand map and symmetric products”. In: Selecta Math. (N.S.) 8.4 (2002), pp. 523–535. url: http://dx.doi.org/10.1007/PL00012597.

[BR08]

V. M. Buchstaber and E. G. Rees. “Frobenius \(n\)-homomorphisms, transfers and branched coverings”. In: Math. Proc. Cambridge Philos. Soc. 144.1 (2008), pp. 1–12. arXiv: math/0608120. url: http://dx.doi.org/10.1017/S0305004107000539.

[Bra80]

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[Bru+]

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[CJM]

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[Cor12]

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[Dol86]

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[Eke+01]

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[EKS84]

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[Fei86]

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[Fox57]

Ralph H. Fox. “Covering spaces with singularities”. In: A symposium in honor of S. Lefschetz. Princeton University Press, Princeton, N.J., 1957, pp. 243–257.

[Hil+05]

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[Hil76]

Hugh M. Hilden. “Three-fold branched coverings of \(S^3\)”. In: Amer. J. Math. 98.4 (1976), pp. 989–997.

[Hir74]

Ulrich Hirsch. “Über offene Abbildungen auf die \(3\)-Sphäre”. In: Math. Z. 140 (1974), pp. 203–230.

[IJ03]

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[Mas77]

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[Mic63]

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[Mon76]

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[Oko00]

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[Pie95]

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[PP06]

Ekaterina Pervova and Carlo Petronio. “On the existence of branched coverings between surfaces with prescribed branch data. I”. In: Algebr. Geom. Topol. 6 (2006), 1957–1985 (electronic). arXiv: math/0508434. url: http://dx.doi.org/10.2140/agt.2006.6.1957.

[RY]

Yo’av Rieck and Yasushi Yamashita. The Link Volume of 3-Manifolds. arXiv: 1205.1274.

[Smi83]

Larry Smith. “Transfer and ramified coverings”. In: Math. Proc. Cambridge Philos. Soc. 93.3 (1983), pp. 485–493. url: http://dx.doi.org/10.1017/S0305004100060795.