トポロジーの様々な分野への応用

21世紀に入り, トポロジーの様々な分野への応用が目覚しい。 2012年7月に Edinburgh での workshop に参加して, それを実感した。

トポロジーの工学への応用について知ったのは, 2007年の Singapore での braid の conference での Ghrist の講演だったが, 現在では, 医学や生物学そして天文学にも応用されている。

例えば, Edinburgh の workshop で聞いた話題では, Carlsson や Nicolau ら [NLC11] による persistent homology を用いた新しい乳癌の発見や van de Weygaert らによる cosmic web の解析 [Wey+11] などがあった。

その Carlsson を中心とした Stanford での研究グループが元になった Applied Topology という website がある。Conference や preprint などの有用な情報がある。

人文科学と言えるのかどうか分からないが, Manin と Marcolli が [MM] 自然言語を含む言語をデータベースとみなし, 射影空間, Grassmann 多様体, flag多様体など, を用いたモデルを用いて調べることを提案している。 Persistent homologyも使われている。

Manin は, survey [Man15] で神経科学でのホモトピー論的視点について述べている。 具体的には, simplicial set を使う方法であり, 最後に homotopy type theory との比較も行なっている。Cattell の neural network に関する [Cat] では, hyperplane arrangement が登場する。

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また, 既にトポロジーとの関係が良く知られている物理学でも, 新たな繋がりが見付かっている。例えば, topological insulator など。

このように応用が広がるにつれ, 使われるトポロジーや他の数学の道具もどんどん高度なものになってきている。例えば, persistent homology では, \(A\)型以外の quiverの表現も考えられているし, Henry Adams のthesis [AC] では, homotopy limit やその Bousfield-Kan による homotopy spectral sequence が使われている。Cosheaf の概念が最も積極的に使われているのもこの分野かもしれない。 もちろん, cosheaf 以前に sheaf も使われている。 Cosheaf を使うことにもっとも力を入れているのは Justin Curry [Cur] であるが, sheaf は Curry 以前に Michael Robinson や Ghrist ら [CGR12; Rob] が使い始めていた。

References

[AC]

Henry Adams and Gunnar Carlsson. Evasion Paths in Mobile Sensor Networks. arXiv: 1308.3536.

[Cat]

Sven Cattell. Geometric Decomposition of Feed Forward Neural Networks. arXiv: 1612.02522.

[CGR12]

Justin Curry, Robert Ghrist, and Michael Robinson. “Euler calculus with applications to signals and sensing”. In: Advances in applied and computational topology. Vol. 70. Proc. Sympos. Appl. Math. Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2012, pp. 75–145. arXiv: 1202. 0275. url: https://doi.org/10.1090/psapm/070/589.

[Cur]

Justin Curry. Sheaves, Cosheaves and Applications. arXiv: 1303. 3255.

[Man15]

Yuri I. Manin. “Neural codes and homotopy types: mathematical models of place field recognition”. In: Mosc. Math. J. 15.4 (2015), pp. 741–748. arXiv: 1501.00897. url: https://doi.org/10.17323/1609-4514-2015-15-4-741-748.

[MM]

Yuri Manin and Matilde Marcolli. Semantic Spaces. arXiv: 1605. 04238.

[NLC11]

M. Nicolau, A.J. Levine, and G. Carlsson. “Topology based data analysis identifies a subgroup of breast cancers with a unique mutational profile and excellent survival”. In: Proceedings of the National Academy of Sciences 108.17 (2011), p. 7265.

[Rob]

Michael Robinson. Sheaf and duality methods for analyzing multi-model systems. arXiv: 1604.04647.

[Wey+11]

R. van de Weygaert et al. “Alpha, Betti and the Megaparsec Universe: On the Topology of the Cosmic Web”. In: Transactions on Computational Science XIV (2011), pp. 60–101.