複数の入力を持つ代数的構造

群や環などは, 2つの元を掛けたり足したりする演算のための代数的構造であるが, 同時に3つ以上の元に対する演算を行ないたい場合もある。

Ataguema と Makhlouf によると, 3つの入力を持つ ternary algebra は Jacobson [Jac49] により導入されたもののようである。より一般に, \(n\)個の入力を持つ \(n\)-ary algebra は Carlsson [Car80], Lister [Lis71], Loos [Loo72b; Loo72a] などによって調べられている。

• \(n\)-ary algebra

代数的構造に対しては, 多くの場合, それを調べるための homology や cohomology が定義されるが ternary algebra の cohomology は, Niebrzydoswki が [Niea] で定義している。

別のタイプの3つの入力を持つ algebra が Lawrence [Law95] によって考えられている。 Staic [Sta09] はその“symmetric cohomology” を調べている。

Lie algebra の多重版も考えられている。 Makhlouf と Naolekar [MN] によると, 物理学 での動機は, 複数の Hamiltonian を持つ Hamiltonian mechanics を考えた Nambu の仕事 [Nam73] のようである。 \(n\)-Lie algebra の定義が与えられたのは Filippov [Fil85] であるが。 そのため \(n\)-Lie algebra は Filippov algebra と呼ばれることが多いようである。

• \(n\)-Lie algebra

Friedmann, Hanlon, Stanley, Wachs の [Fri+21] では, Lie algebra of the \(n\)-th kind と呼ばれていて, その free 版が定義されている。

Lie algebra の一般化の一つとして, Leibniz algebra があるが, その複数入力版は, Casas, Loday, Pirashvili の [CLP02] で導入されている。

• \(n\)-Leibniz algebra

更に, それらの Hom-algebra 版もある。

• \(n\)-Hom Lie algebra [AMS]
• \(n\)-Hom Leibniz algebra [MN]

Quandleの ternary 版は Elhamdadi と Green [EGM16] により導入されている。

Quasigroup の複数入力版も考えられている。 Krotov と Potapov の [KP] や Taranenko の [Tar] など。

• \(n\)-ary quasigroup

Niebrzydowski [Nieb] は, 入力3つの quasigroup (ternary quasigroup) が link の不変量を構成するのに使える, と言っている。

このような“多重代数”を考えるときには, operad が有用である。Markl と Remm [MRa; MRb] は, \(n\)-ary algebra を記述する operad の Koszul性について考えている。

References

[AMS]

H. Ataguema, A. Makhlouf, and S. Silvestrov. Generalization of n-ary Nambu algebras and beyond. arXiv: 0812.4058.

[Car80]

Renate Carlsson. “\(n\)-ary algebras”. In: Nagoya Math. J. 78 (1980), pp. 45–56. url: http://projecteuclid.org/euclid.nmj/1118786088.

[CLP02]

J. M. Casas, J.-L. Loday, and T. Pirashvili. “Leibniz \(n\)-algebras”. In: Forum Math. 14.2 (2002), pp. 189–207. url: http://dx.doi.org/10.1515/form.2002.009.

[EGM16]

Mohamed Elhamdadi, Matthew Green, and Abdenacer Makhlouf. “Ternary distributive structures and quandles”. In: Kyungpook Math. J. 56.1 (2016), pp. 1–27. arXiv: 1403.7099. url: https://doi.org/10.5666/KMJ.2016.56.1.1.

[Fil85]

V. T. Filippov. “\(n\)-Lie algebras”. In: Sibirsk. Mat. Zh. 26.6 (1985), pp. 126–140, 191.

[Fri+21]

Tamar Friedmann, Phil Hanlon, Richard P. Stanley, and Michelle L. Wachs. “On a generalization of Lie\((k)\): a CataLAnKe theorem”. In: Adv. Math. 380 (2021), Paper No. 107570, 19. arXiv: 1710.00376. url: https://doi.org/10.1016/j.aim.2021.107570.

[Jac49]

Nathan Jacobson. “Lie and Jordan triple systems”. In: Amer. J. Math. 71 (1949), pp. 149–170.

[KP]

Denis Krotov and Vladimir Potapov. On the number of \(n\)-ary quasigroups of finite order. arXiv: 0912.5453.

[Law95]

R. J. Lawrence. “Algebras and triangle relations”. In: J. Pure Appl. Algebra 100.1-3 (1995), pp. 43–72. url: http://dx.doi.org/10.1016/0022-4049(95)00017-Q.

[Lis71]

W. G. Lister. “Ternary rings”. In: Trans. Amer. Math. Soc. 154 (1971), pp. 37–55.

[Loo72a]

Ottmar Loos. “Alternative Tripelsysteme”. In: Math. Ann. 198 (1972), pp. 205–238.

[Loo72b]

Ottmar Loos. “Assoziative Tripelsysteme”. In: Manuscripta Math. 7 (1972), pp. 103–112.

[MN]

Abdenacer Makhlouf and Anita Naolekar. On n-Hom-Leibniz algebras and cohomology. arXiv: 1803.06840.

[MRa]

Martin Markl and Elisabeth Remm. (Non-)Koszulness of operads for n-ary algebras, galgalim and other curiosities. arXiv: 0907.1505.

[MRb]

Martin Markl and Elisabeth Remm. Operads for \(n\)-ary algebras - calculations and conjectures. arXiv: 1103.3956.

[Nam73]

Yoichiro Nambu. “Generalized Hamiltonian dynamics”. In: Phys. Rev. D (3) 7 (1973), pp. 2405–2412.

[Niea]

Maciej Niebrzydowski. Homology of ternary algebras yielding invariants of knots and knotted surfaces. arXiv: 1706.04307.

[Nieb]

Maciej Niebrzydowski. Ternary quasigroups in knot theory. arXiv: 1708.05330.

[Sta09]

Mihai D. Staic. “From 3-algebras to \(\Delta \)-groups and symmetric cohomology”. In: J. Algebra 322.4 (2009), pp. 1360–1378. arXiv: math/0604304. url: https://doi.org/10.1016/j.jalgebra.2009.05.011.

[Tar]

Anna Taranenko. Transversals in completely reducible multiary quasigroups and in multiary quasigroups of order 4. arXiv: 1612.01797.