Klein型の特異点とMcKay対応

\(\mathrm{SU}(2)\) の有限部分群 \(G\) の \(\mathbb{C}^2\) への作用による商空間 \(\mathbb{C}^2/G\) に現われる特異点を, \(G\) に同伴した Klein型特異点という。 このblog にある Calabi-Yau algebra についての講義録が分かりやすい。日本語では, まずは [松沢淳02] を読んでみるのがよいと思う。

\(\mathrm{SO}(3)\) の有限部分群は, 初等的な方法で分類でき, \(\mathrm{SU}(2)\) の有限部分群はその double cover として得られるので, それほど難しい対象ではない, ように思える。しかし, McKay correspondence などの興味深い現象が現われ, まだまだ調べることはありそうである。 Borisov と Libgober [BL05] は, orbifold elliptic genus を調べている。

• McKay による \(\mathrm{SU}(2)\) の有限部分群に対する extended Dynkin diagram の定義 [McK80]

一方で特異点の minimal resolution に対しても Dynkin diagram が得られ, 表現から得られる extended Dynkin diagram から trivial representation を除いてできる Dynkin diagram と一致する。所謂 McKay 対応とは, この Dynkin diagram の一致を説明する対応であり, \(G\) の表現と \(\mathbb{C}^2/G\) の minimal resolution のコホモロジーとの対応である。

• McKay correspondence

McKay correspondence は, Gonzalez-Sprinberg と Verdier [GV83] により \(\bbC ^2\) の equivariant \(K\)-theory と \(\bbC ^2/G\) の minimal resolution の \(K\)-theory の同型と言う形に拡張され, 更に Kapranov と Vasserot [KV00] により, derived category の間の equivalence に拡張された。\(3\)次元の場合への一般化も derived category を用いるのがよいようである。Bridgeland と King と Reid の [BKR01] や Cautis と Logvinenko の [CL09] など。

具体的な対応がどうなっているかというのも興味深いし重要である。Alexander Kirillov, Jr. の [Kir06] では, McKay 対応は \(\mathrm{SU}(2)\) の有限群 \(G\) と同じ Dynkin graph \(Q\) を持つ Lie環 \(\mathfrak{g}\) の対応として扱われている。そして, その構成法として以下のものがあると書いてある:

• \(Q\) に associate した quiver variety を用いる
• \(Q\) に適当に向きをつけてできる quiver の表現の圏の derived category, あるいはそこから作られる triangulated category の Hall algebra として \(\mathfrak{g}\) の universal enveloping algebra を作る [Rin90; PX00]
• Ocneanu による quantum \(\mathrm{SU}(2)\) の subgroup に関連した対応 [KO02; Kir06; KT10]

最後のものは, McKay correspondence の \(q\)-analogue である。Kirillov と Ostrik によると, Ocneanu [Ocn88] が von Neumann algebra の subfactor の分類に帰着させることを提案したようである。他にも conformal field theory などに関係しているようで興味深い。

Dynkin diagram が現われるということは, 様々な分野との関係がつくということであり, 興味深い研究対象であるということを示唆している。個人的に興味があるのは, 以下のことである:

• Bridgeland の triangulated category の stability condition の空間との関連 (Bridgeland の予想)

一般化として Goff と Mason [MG] は, quasi-Hopf algebra に対する orbifold McKay correspondence を考えている。

• orbifold McKay correspondence

References

[BKR01]

Tom Bridgeland, Alastair King, and Miles Reid. “The McKay correspondence as an equivalence of derived categories”. In: J. Amer. Math. Soc. 14.3 (2001), 535–554 (electronic). arXiv: math/9908027. url: http://dx.doi.org/10.1090/S0894-0347-01-00368-X.

[BL05]

Lev Borisov and Anatoly Libgober. “McKay correspondence for elliptic genera”. In: Ann. of Math. (2) 161.3 (2005), pp. 1521–1569. arXiv: math/0206241. url: http://dx.doi.org/10.4007/annals.2005.161.1521.

[CL09]

Sabin Cautis and Timothy Logvinenko. “A derived approach to geometric McKay correspondence in dimension three”. In: J. Reine Angew. Math. 636 (2009), pp. 193–236. arXiv: 0803.2990. url: http://dx.doi.org/10.1515/CRELLE.2009.086.

[GV83]

G. Gonzalez-Sprinberg and J.-L. Verdier. “Construction géométrique de la correspondance de McKay”. In: Ann. Sci. École Norm. Sup. (4) 16.3 (1983), 409–449 (1984). url: http://www.numdam.org/item?id=ASENS_1983_4_16_3_409_0.

[Kir06]

Alexander Kirillov Jr. “McKay correspondence and equivariant sheaves on \(\mathbb{P}^1\)”. In: Mosc. Math. J. 6.3 (2006), pp. 505–529, 587–588. arXiv: math/0603359.

[KO02]

Alexander Kirillov Jr. and Viktor Ostrik. “On a \(q\)-analogue of the McKay correspondence and the ADE classification of \(\mathfrak{sl}_2\) conformal field theories”. In: Adv. Math. 171.2 (2002), pp. 183–227. arXiv: math/0101219. url: http://dx.doi.org/10.1006/aima.2002.2072.

[KT10]

A. Kirillov and J. Thind. “Coxeter elements and periodic Auslander-Reiten quiver”. In: J. Algebra 323.5 (2010), pp. 1241–1265. arXiv: math/0703361. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.jalgebra.2009.11.024.

[KV00]

M. Kapranov and E. Vasserot. “Kleinian singularities, derived categories and Hall algebras”. In: Math. Ann. 316.3 (2000), pp. 565–576. arXiv: math/9812016. url: http://dx.doi.org/10.1007/s002080050344.

[McK80]

John McKay. “Graphs, singularities, and finite groups”. In: The Santa Cruz Conference on Finite Groups (Univ. California, Santa Cruz, Calif., 1979). Vol. 37. Proc. Sympos. Pure Math. Providence, R.I.: Amer. Math. Soc., 1980, pp. 183–186.

[MG]

Geoffrey Mason and Christopher Goff. Generalized Twisted Quantum Doubles and the McKay Correspondence. arXiv: 0912.0300.

[Ocn88]

Adrian Ocneanu. “Quantized groups, string algebras and Galois theory for algebras”. In: Operator algebras and applications, Vol. 2. Vol. 136. London Math. Soc. Lecture Note Ser. Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1988, pp. 119–172.

[PX00]

Liangang Peng and Jie Xiao. “Triangulated categories and Kac-Moody algebras”. In: Invent. Math. 140.3 (2000), pp. 563–603. url: http://dx.doi.org/10.1007/s002220000062.

[Rin90]

Claus Michael Ringel. “Hall algebras and quantum groups”. In: Invent. Math. 101.3 (1990), pp. 583–591. url: http://dx.doi.org/10.1007/BF01231516.

[松沢淳02]

松沢淳一. 特異点とルート系. Vol. 6. すうがくの風景. 東京: 朝倉書店, 2002.