Examples of Graphs and Quivers

グラフやquiver は, 様々な数学的構造の本質的な部分を取り出すことにより定義される。 良く使われるグラフや quiver には名前が付いているので, まずはそれらを知っているべきだろう。

• 完全グラフ (complete graph)
• complete bipartite graph
• tree
• Kneser graph
• Kronecker quiver

Lie 環や Lie 群の分類には, Dynkin 図形が使われる。

• Dynkin 図形や Dynkin quiver

Dynkin 図形は, Lie 環の分類に表われるものが有名であるが, それ以外にも様々なものの分類で登場する。例えば, Klein 型特異点の分類や有限次元 Hopf algebra の分類 [AS10; AS07] などである。

群からは Cayley graph ができる。他にも, 群からグラフを作る方法はいくつもある。

• Cayley graph
• commuting graph [BS]
• Schreier graph [Ces]
• prime graph [BC]
• coprime graph [MWY14]
• characger graph [Haf+]
• directed power graph や power graph [AW]

凸多面体からは, その \(1\)-skeleton としてグラフが作られる。

• 凸多面体のグラフ

Triangulated category の heart を頂点とする exchange graph というものもある。Qiu ら [KQ; Qiu] によって調べられている。

• triangulated category の exchange graph

可換環からは, zero-divisor graph というグラフが作られる。 Epstein と Nasehpour [EN] によると, Beck [Bec88] により導入されたらしい。その後, Anderson と Livingston [AL99] により reformulate されたが, Epstein らは, より一般に \(0\) を持つ semigroup の zero-divisor graph を定義すべき, と主張している。

References

[AL99]

David F. Anderson and Philip S. Livingston. “The zero-divisor graph of a commutative ring”. In: J. Algebra 217.2 (1999), pp. 434–447. url: http://dx.doi.org/10.1006/jabr.1998.7840.

[AS07]

Nicolás Andruskiewitsch and Hans-Jürgen Schneider. “Isomorphism classes and automorphisms of finite Hopf algebras of type \(A_n\)”. In: Proceedings of the XVIth Latin American Algebra Colloquium (Spanish). Bibl. Rev. Mat. Iberoamericana. Rev. Mat. Iberoamericana, Madrid, 2007, pp. 201–226. arXiv: math/0511283.

[AS10]

Nicolás Andruskiewitsch and Hans-Jürgen Schneider. “On the classification of finite-dimensional pointed Hopf algebras”. In: Ann. of Math. (2) 171.1 (2010), pp. 375–417. arXiv: math/0502157. url: http://dx.doi.org/10.4007/annals.2010.171.375.

[AW]

Amrita Acharyya and Allen Williams. Power Graphs of Finite Group. arXiv: 2012.02236.

[BC]

Timothy C. Burness and Elisa Covato. On the prime graph of simple groups. arXiv: 1407.8128.

[Bec88]

István Beck. “Coloring of commutative rings”. In: J. Algebra 116.1 (1988), pp. 208–226. url: http://dx.doi.org/10.1016/0021-8693(88)90202-5.

[BS]

Barbara Baumeister and Alexander Stein. Commuting graphs of odd prime order elements in simple groups. arXiv: 0908.2583.

[Ces]

Filippo Cesi. Cayley graphs on the symmetric group generated by initial reversals have unit spectral gap. arXiv: 0904.1800.

[EN]

Neil Epstein and Peyman Nasehpour. Zero-divisor graphs of nilpotent-free semigroups. arXiv: 1112.0185.

[Haf+]

Roghayeh Hafezieh, Mohammad Ali Hosseinzadeh, Samaneh Hossein-Zadeh, and Ali Iranmanesh. The influence of cut vertices and eigenvalues on character graphs of solvable groups. arXiv: 1909.09236.

[KQ]

Alastair King and Yu Qiu. Exchange graphs and Ext quivers. arXiv: 1109.2924.

[MWY14]

X. Ma, H. Wei, and L. Yang. “The coprime graph of a group”. In: Int. J. Group Theory 3.3 (2014), pp. 13–23. url: https://doi.org/10.1103/physrevd.90.032007.

[Qiu]

Yu Qiu. Stability conditions and quantum dilogarithm identities for Dynkin quivers. arXiv: 1111.1010.