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グラフや quiver は, 様々な数学的構造の本質的な部分を取り出すことにより定義される。 良く使われるグラフや quiver
には名前が付いているので, まずはそれらを知っているべきだろう。
- 完全グラフ (complete graph)
- complete bipartite graph
- tree
- Kneser graph
- Kronecker quiver
Lie 環や Lie 群の分類には, Dynkin 図形が使われる。
Dynkin 図形は, Lie 環の分類に表われるものが有名であるが, それ以外にも様々なものの分類で登場する。例えば, Klein
型特異点の分類や有限次元 Hopf algebra の分類 [AS10; AS07] などである。
群からは Cayley graph ができる。他にも, 群からグラフを作る方法はいくつもある。
- Cayley graph
- commuting graph [BS]
- Schreier graph [Ces]
- prime graph [BC]
- coprime graph [MWY14]
- characger graph [Haf+]
- directed power graph や power graph [AW]
凸多面体からは, その \(1\)-skeleton としてグラフが作られる。
Monson と Weiss [MW07] は \(4\)次元 abstract polytope から symmetric graph
を作る操作を考えている。Medial layer graph と呼んでいる。
- symmetric graph
- medial layer graph
Symmetric graph というのは, 各頂点 \(v\) に対し, \(v\) の isotropy subgroup が \(v\)
に隣接している頂点の集合に推移的に作用するようなグラフのことで, Tutte [Tut66] により調べられている。Monson と Weiss
によると, Foster [Fos88] により trivalent graph では, 頂点 \(512\) のものまではかなり詳しく調べられているようである。その後
Conder と Dobcsanyi [CD02] により, 頂点数 \(768\) のものまで調べられている。
Triangulated category の heart を頂点とする exchange graph というものもある。Qiu ら [KQ;
Qiu] によって調べられている。
- triangulated category の exchange graph
可換環からは, zero-divisor graph というグラフが作られる。 Epstein と Nasehpour [EN]
によると, Beck [Bec88] により導入されたらしい。その後, Anderson と Livingston [AL99] により
reformulate されたが, Epstein らは, より一般に \(0\) を持つ semigroup の zero-divisor graph を定義すべき,
と主張している。
References
-
[AL99]
-
David F.
Anderson and Philip S. Livingston. “The zero-divisor graph of a
commutative ring”. In: J. Algebra 217.2 (1999), pp. 434–447. url:
http://dx.doi.org/10.1006/jabr.1998.7840.
-
[AS07]
-
Nicolás Andruskiewitsch and Hans-Jürgen Schneider. “Isomorphism
classes and automorphisms of finite Hopf algebras of type
\(A_n\)”. In: Proceedings of the XVIth Latin American Algebra
Colloquium (Spanish). Bibl. Rev. Mat. Iberoamericana. Rev. Mat.
Iberoamericana, Madrid, 2007, pp. 201–226. arXiv: math/0511283.
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[AS10]
-
Nicolás Andruskiewitsch and Hans-Jürgen Schneider. “On the
classification of finite-dimensional pointed Hopf algebras”. In: Ann.
of Math. (2) 171.1 (2010), pp. 375–417. arXiv: math/0502157. url:
http://dx.doi.org/10.4007/annals.2010.171.375.
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[AW]
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Group. arXiv: 2012.02236.
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[BC]
-
Timothy C. Burness and Elisa Covato. On the prime graph of simple
groups. arXiv: 1407.8128.
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[Bec88]
-
István Beck. “Coloring of commutative rings”. In: J. Algebra 116.1
(1988), pp. 208–226. url:
http://dx.doi.org/10.1016/0021-8693(88)90202-5.
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[BS]
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Barbara Baumeister and Alexander Stein. Commuting graphs of odd
prime order elements in simple groups. arXiv: 0908.2583.
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[CD02]
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on up to 768 vertices”. In: J. Combin. Math. Combin. Comput. 40
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[Ces]
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initial reversals have unit spectral gap. arXiv: 0904.1800.
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[EN]
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Neil Epstein and Peyman Nasehpour. Zero-divisor graphs of
nilpotent-free semigroups. arXiv: 1112.0185.
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[Fos88]
-
Ronald M. Foster. The Foster census. R. M. Foster’s census of
connected symmetric trivalent graphs, With a foreword by H. S. M.
Coxeter, With a biographical preface by Seymour Schuster, With
an introduction by I. Z. Bouwer, W. W. Chernoff, B. Monson and Z.
Star, Edited and with a note by Bouwer. Charles Babbage Research
Centre, Winnipeg, MB, 1988, pp. viii+240. isbn: 0-919611-19-2.
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[Haf+]
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Roghayeh Hafezieh, Mohammad Ali Hosseinzadeh, Samaneh
Hossein-Zadeh, and Ali Iranmanesh. The influence of cut vertices
and eigenvalues on character graphs of solvable groups. arXiv:
1909.09236.
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[KQ]
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Alastair King and Yu Qiu. Exchange graphs and Ext quivers. arXiv:
1109.2924.
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[MW07]
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Barry Monson and Asia Ivić Weiss. “Medial layer graphs of
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pp. 43–60. url: https://doi.org/10.1016/j.ejc.2005.10.001.
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[MWY14]
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X. Ma, H. Wei, and L. Yang. “The coprime graph of a
group”. In: Int. J. Group Theory 3.3 (2014), pp. 13–23. url:
https://doi.org/10.1103/physrevd.90.032007.
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[Qiu]
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Yu Qiu. Stability conditions and quantum dilogarithm identities for
Dynkin quivers. arXiv: 1111.1010.
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[Tut66]
-
W. T. Tutte. Connectivity in graphs. Mathematical Expositions,
No. 15. Toronto, Ont.: University of Toronto Press, 1966,
pp. ix+145.
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