Grothendieck Group

位相空間の\(K\)理論の構成にはそれほど高度な概念は必要ない。 まずは Grothendieck group の構成, つまり monoid の group completion さえ知っていればよい。とはいうものの, group completion にもその適用するものによって様々な version がある。いづれの場合も, できた群を Grothendieck group という。

• monoid の group completion
• ホモトピー論的な topological monoid の group completion
• exact category の Grothendieck group
• exact category が “積を持つ”とき, その Grothendieck group は環になる。
• exact category の higher algebraic \(K\)-theory

Grothendieck group (と \(K_{1}\)) については, Lam と Siu の解説 [LS75] がある。

Grothendieck group は, exact category の object の isomorphism class の集合に直和で和を定義し, 完全列 (conflation) \(x\to y\to z\) に対して \([y]=[x]+[z]\) という関係を入れ, 更に形式的を逆元を付け加えて Abel 群にしたものであるが, 最後の形式的な逆元を付け加える前の段階を Grothendieck monoid として考えることを Berenstein と Greenstein [BG16] が提案している。

• Grothendieck monoid of exact category

Grothendieck は, 更に exterior power operation により定義される作用素を考えるために \(\lambda \)-ring の概念を導入した。

• \(\lambda \)-ring
• Adams operation

\(K\)-theory と関係があるものとして, Picard group や Brauer group などといったものもある。

• Picard group
• Brauer group

Vector bundle を dg category に変えた “categorified version” を secondary \(K\)-theory (secondary Grothendieck group) として Toën が定義している。 \(0\)次のものを secondary Grothendieck group と呼ぶ。

• secondary \(K\)-theory

元になっている category が monoidal structure を持つ場合, Grothendieck group は環になり Grothendieck ring と呼ばれる。その環構造の deformation を考えている人もいる。Hernandez ら [Her; HL15] などである。 Loop algebra の quantum deformation の表現の場合, Toën の derived Hall algebra と関係あるようである。

• quantum Grothendieck ring

Algebraic variety 全体の Grothendieck ring も考えられている。Vakil と Wood の [VW15] など。 また algebraic stack の Grothendieck ring は Ekedahl の[Eke] で, 更に smooth proper pretriangulated dg category の Grothendieck ring は [BLL04] で考えられている。

• Grothendieck group of varieties and stacks

より身近なものから作られるものとしては, convex polytope が Minkowski sumで成す semigroup の Grothendieck group がある。その元を virtual polytope と呼ぶ。Paninaの [Pan02; Pan15] などを参照のこと。 最初は Khovanskii と Pukhlikov の [PK92] で考えられたもののようである。Friedl らの [FLT19] でも使われている。

• virtual polytope

Goodwillie [Goo]は, Minkowski sum ではなく, 和集合を取ることによる convex polytope の Grothendieck groupを考えている。 こちらの motivation は scissors congruence である。

References

[BG16]

Arkady Berenstein and Jacob Greenstein. “Primitively generated Hall algebras”. In: Pacific J. Math. 281.2 (2016), pp. 287–331. arXiv: 1209.2770. url: https://doi.org/10.2140/pjm.2016.281.287.

[BLL04]

Alexey I. Bondal, Michael Larsen, and Valery A. Lunts. “Grothendieck ring of pretriangulated categories”. In: Int. Math. Res. Not. 29 (2004), pp. 1461–1495. arXiv: math/0401009. url: http://dx.doi.org/10.1155/S1073792804140385.

[Eke]

Torsten Ekedahl. The Grothendieck group of algebraic stacks. arXiv: 0903.3143.

[FLT19]

Stefan Friedl, Wolfgang Lück, and Stephan Tillmann. “Groups and polytopes”. In: Breadth in contemporary topology. Vol. 102. Proc. Sympos. Pure Math. Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2019, pp. 57–77. arXiv: 1611.01857.

[Goo]

Thomas G. Goodwillie. Total scissors congruence. arXiv: 1410.7120.

[Her]

David Hernandez. Algebraic Approach to \(q,t\)-Characters. arXiv: math/0212257.

[HL15]

David Hernandez and Bernard Leclerc. “Quantum Grothendieck rings and derived Hall algebras”. In: J. Reine Angew. Math. 701 (2015), pp. 77–126. arXiv: 1109.0862. url: https://doi.org/10.1515/crelle-2013-0020.

[LS75]

T. Y. Lam and M. K. Siu. “\(K_{0}\) and \(K_{1}\)–an introduction to algebraic \(K\)-theory”. In: Amer. Math. Monthly 82 (1975), pp. 329–364. url: https://doi.org/10.2307/2318406.

[Pan02]

G. Yu. Panina. “Virtual polytopes and classical problems in geometry”. In: Algebra i Analiz 14.5 (2002), pp. 152–170.

[Pan15]

Gaiane Yu. Panina. “Cyclopermutohedron”. In: Proc. Steklov Inst. Math. 288 (2015). Published in Russian in Tr. Mat. Inst. Steklova 288 (2015), 149–162, pp. 132–144. arXiv: 1401.7476. url: https://doi.org/10.1134/S0081543815010101.

[PK92]

A. V. Pukhlikov and A. G. Khovanskiı̆. “The Riemann-Roch theorem for integrals and sums of quasipolynomials on virtual polytopes”. In: Algebra i Analiz 4.4 (1992), pp. 188–216.

[VW15]

Ravi Vakil and Melanie Matchett Wood. “Discriminants in the Grothendieck ring”. In: Duke Math. J. 164.6 (2015), pp. 1139–1185. arXiv: 1208.3166. url: https://doi.org/10.1215/00127094-2877184.