位相空間の\(K\)理論の構成にはそれほど高度な概念は必要ない。 まずは Grothendieck group の構成, つまり monoid の
group completion さえ知っていればよい。とはいうものの, group completion にもその適用するものによって様々な
version がある。いづれの場合も, できた群を Grothendieck group という。
Achar と Stroppel [AS] は, Tate twist を持つ mixed Abelian category に対し,
Grothendieck group の completion を定義している。 Derived category の Grothendieck group
との比較を行なうのが目的のようである。
Exact category に対しては, Berenstein と Greenstein [BG16] により導入された Grothendieck
monoid というものもある。Hall algebra の grading のために導入された。
最近では, Enomoto や Saito ら [Eno; Sai; ES] によって使われている。
Grothendieck は, 更に exterior power operation により定義される作用素を考えるために \(\lambda \)-ring
の概念を導入した。
\(K\)-theory と関係があるものとして, Picard group や Brauer group などといったものもある。
Vector bundle を dg category に変えた “categorified version” を secondary \(K\)-theory
(secondary Grothendieck group) として Toën が定義している。 \(0\)次のものを secondary Grothendieck
group と呼ぶ。
元になっている category が monoidal structure を持つ場合, Grothendieck group は環になり
Grothendieck ring と呼ばれる。その環構造の deformation を考えている人もいる。Hernandez ら [Her; HL15]
などである。 Loop algebra の quantum deformation の表現の場合, Toën の derived Hall algebra
と関係あるようである。
- quantum Grothendieck ring
Algebraic variety 全体の Grothendieck ring も考えられている。Vakil と Wood の [VW15] など。
また algebraic stack の Grothendieck ring は Ekedahl の[Eke] で, 更に smooth proper
pretriangulated dg category の Grothendieck ring は [BLL04] で考えられている。
より身近なものから作られるものとしては, convex polytope が Minkowski sumで成す semigroup の
Grothendieck group がある。その元を virtual polytope と呼ぶ。Paninaの [Pan02; Pan]
などを参照のこと。 最初は KhovanskiiとPukhlikovの [PK92]で考えら れたもののようである。Friedlらの
[FLT19]でも使われている。
Goodwillie [Goo]は, Minkowski sum ではなく, 和集合を取ること による convex polytopeの
Grothendieck groupを考えている。 こちらの motivation は scissors congruence である。
References
-
[AS]
-
Pramod N. Achar and Catharina Stroppel. Completions of
Grothendieck groups. arXiv: 1105.2715.
-
[BG16]
-
Arkady Berenstein and Jacob Greenstein. “Primitively generated Hall
algebras”. In: Pacific J. Math. 281.2 (2016), pp. 287–331. arXiv:
1209.2770. url: https://doi.org/10.2140/pjm.2016.281.287.
-
[BLL04]
-
Alexey I. Bondal, Michael Larsen, and Valery A. Lunts.
“Grothendieck ring of pretriangulated categories”. In: Int. Math.
Res. Not. 29 (2004), pp. 1461–1495. arXiv: math/0401009. url:
http://dx.doi.org/10.1155/S1073792804140385.
-
[Eke]
-
Torsten Ekedahl. The Grothendieck group of algebraic stacks. arXiv:
0903.3143.
-
[Eno]
-
Haruhisa Enomoto. The Jordan-Hölder property and Grothendieck
monoids of exact categories. arXiv: 1908.05446.
-
[ES]
-
Haruhisa Enomoto and Shunya Saito. Grothendieck monoids of
extriangulated categories. arXiv: 2208.02928.
-
[FLT19]
-
Stefan Friedl, Wolfgang Lück, and Stephan Tillmann. “Groups and
polytopes”. In: Breadth in contemporary topology. Vol. 102. Proc.
Sympos. Pure Math. Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2019,
pp. 57–77. arXiv: 1611.01857.
-
[Goo]
-
Thomas G. Goodwillie. Total scissors congruence. arXiv: 1410.7120.
-
[Her]
-
David Hernandez. Algebraic Approach to \(q,t\)-Characters. arXiv: math/
0212257.
-
[HL15]
-
David Hernandez
and Bernard Leclerc. “Quantum Grothendieck rings and derived Hall
algebras”. In: J. Reine Angew. Math. 701 (2015), pp. 77–126. arXiv:
1109.0862. url: https://doi.org/10.1515/crelle-2013-0020.
-
[Pan]
-
Gaiane Panina. Cyclopermutohedron. arXiv: 1401.7476.
-
[Pan02]
-
G. Yu. Panina. “Virtual polytopes and classical problems in
geometry”. In: Algebra i Analiz 14.5 (2002), pp. 152–170.
-
[PK92]
-
A. V. Pukhlikov and A. G. Khovanskiı̆. “Finitely additive measures
of virtual polyhedra”. In: Algebra i Analiz 4.2 (1992), pp. 161–185.
-
[Sai]
-
Shunya Saito. The spectrum of Grothendieck monoid: a new approach
to classify Serre subcategories. arXiv: 2206.15271.
-
[VW15]
-
Ravi Vakil and
Melanie Matchett Wood. “Discriminants in the Grothendieck ring”.
In: Duke Math. J. 164.6 (2015), pp. 1139–1185. arXiv: 1208.3166.
url: https://doi.org/10.1215/00127094-2877184.
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