Grothendieck Monoid

Grothendieck は, vector bundle (locally free sheaf) の同型類の集合から Abel 群を定義した。 その構成は, 自然に exact category に拡張され exact category の Grothendieck group が定義される。

Exact category \(\bm {E}\) の Grothendieck group は, object の isomorphism class の集合に直和で和を定義し, 完全列 (conflation) \(x\to y\to z\) に対して \([y]=[x]+[z]\) という関係を入れ, 更に形式的を逆元を付け加えて Abel 群にしたものであるが, 最後の形式的な逆元を付け加える前の段階を Grothendieck monoid として考えることを Berenstein と Greenstein [BG16] が提案している。 彼等は, Hall algebra の grading のために導入した。

• Grothendieck monoid of exact category

最近では, Enomoto や Saito ら [Eno22; Sai24] によって使われている。Saito は [Sai24] で module category への応用について Brookfield の論文 [Bro97; Bro98; Bro03] を参照している。

Berenstein と Greenstein は, Grothendieck monoid の様々な性質を証明しているが, その中に conical であるというものがある。 可換 monoid が conical というのは \(x+y=0\) ならば \(x=y=0\) が成り立つということである。Enomoto の [Eno22] では reduced monoid と呼ばれている。

• exact category の Grothendieck monoid は conical

この conical という性質は, Bergman の仕事 [Ber74] で登場する。Bergman は finitely generated conical monoid \(M\) が, ある特別な元 \(d\) を持つとき, associative algebra \(B(M)\) で finitely generated projective \(B(M)\)-module の isomorphism class の成す monoid が \(M\) と同型になるものを構成した。\(M\) の Bergman algebra と呼ばれている。

• Bergman algebra

Abrams の Leavitt path algebra に関する解説 [Abr15] が分かり易い。Leavitt algebra との関係は, 既に Bergman の論文で指摘されている。この Bergman の構成は, 様々な興味深い algebra を構成するために使えるようである。Hazrat らの [HLP] では graded algebra 版が導入されている。

Grothendieck monoid の一般化としては, Enomoto と Saito による extriangulated category への拡張 [ES] がある。

• Grothendieck monoid of extriangulated category

References

[Abr15]

Gene Abrams. “Leavitt path algebras: the first decade”. In: Bull. Math. Sci. 5.1 (2015), pp. 59–120. arXiv: 1410.1835. url: https://doi.org/10.1007/s13373-014-0061-7.

[Ber74]

George M. Bergman. “Coproducts and some universal ring constructions”. In: Trans. Amer. Math. Soc. 200 (1974), pp. 33–88. url: https://doi.org/10.2307/1997247.

[BG16]

Arkady Berenstein and Jacob Greenstein. “Primitively generated Hall algebras”. In: Pacific J. Math. 281.2 (2016), pp. 287–331. arXiv: 1209.2770. url: https://doi.org/10.2140/pjm.2016.281.287.

[Bro03]

Gary Brookfield. “The extensional structure of commutative Noetherian rings”. In: Comm. Algebra 31.6 (2003), pp. 2543–2571. url: https://doi.org/10.1081/AGB-120021881.

[Bro97]

Gary John Brookfield. Monoids and categories of Noetherian modules. Thesis (Ph.D.)–University of California, Santa Barbara. ProQuest LLC, Ann Arbor, MI, 1997, p. 177. isbn: 978-0591-49486-0.

[Bro98]

Gary Brookfield. “Direct sum cancellation of Noetherian modules”. In: J. Algebra 200.1 (1998), pp. 207–224. url: https://doi.org/10.1006/jabr.1997.7221.

[Eno22]

Haruhisa Enomoto. “The Jordan-Hölder property and Grothendieck monoids of exact categories”. In: Adv. Math. 396 (2022), Paper No. 108167, 73. arXiv: 1908.05446. url: https://doi.org/10.1016/j.aim.2021.108167.

[ES]

Haruhisa Enomoto and Shunya Saito. Grothendieck monoids of extriangulated categories. arXiv: 2208.02928.

[HLP]

Roozbeh Hazrat, Huanhuan Li, and Raimund Preusser. Bergman algebras: The graded universal algebra constructions. arXiv: 2403.01703.

[Sai24]

Shunya Saito. “The spectrum of Grothendieck monoid: Classifying Serre subcategories and reconstruction theorem”. In: J. Algebra 658 (2024), pp. 365–414. arXiv: 2206.15271. url: https://doi.org/10.1016/j.jalgebra.2024.06.006.