Grothendieck のアイデアから発展した分野

代数幾何を近代化したのは, もちろん Grothendieck の業績である。代数幾何にとどまらず, 1970年に IHES を辞めてからも, Grothendieck の数学は様々な分野に影響を与え続けている。

Grothendieck については, 山下純一氏による伝記 [山下純03] を読むのがよいだろう。独自の調査により, 非常に詳しい情報が書いてある。Cartier による Bulletin of A.M.S. の記事 [Car01] もある。やはり Grothendieck の数学のファンは多いようで, Grothendieck Circle という website もある。 未出版のものも含めた Grothendieck の著作などのPDFファイルを download できる。

Grothendieck に関する website は, 他にも色々あり, この nLab のページからリンクが張られている。

Grothendieck の数学を勉強するにはかなりのエネルギーを必要とするが, 最近はいくつか解説もある。例えば, Étale cohomology に関しては, Milne の本 [Mil80] や Freitag と Kiehl の本 [FK88] がある。 また Grothendieck topology や topos などについては, Mac Lane と Moerdijk の本 [MM96; MM94] や Borceux の Handbook の第三巻 [Bor94] がある。Mark Johnson の [Joh01] もよい入門となる。代数的トポロジーのための scheme の扱いについては, Strickland の解説 [Str99] がよい。他には Vistoli の [Vis05] がある。

代数幾何の基礎として導入したのが, scheme の概念であるが, 他の分野にも用いられるようなった基礎的な概念で Grothendieck が提示したものとしては, まずは topos が挙げられる。

次に, (co)fibered category などであるが, これはホモトピー論では, 例えば Quillen が higher Algebraic \(K\)-theory を定義した [Qui73] で用いられている。 もっとも, その \(K\)-theory の起源自体 Grothendieck によるものであるが。 関連した構成として, small category の図式から一つの small category を作る Grothendieck construction と呼ばれるものがある。これは, もともと SGA1 [SGA103] で prestack と fibered category 間の対応として構成されたものである。

André-Quillen (co)homology の定義では, cotangent complex が用いられている。Cotangent complex といえば Illusie の [Ill71; Ill72] であるが, ホモトピー論的には model category の言葉で考えた方が分かりやすい。

  • cotangent complex

このように, Grothendieck のアイデアにはホモトピー論で発見された概念と共通するものも多い。実際, Grothendieck は, model category について考察したこともあるようである。

Grothendieck の数学をトポロジーに導入したのは, Atiyah と Hirzebruch の topological \(K\)-theory の仕事が最初だろう。 ホモトピー論では, Quillen [Qui68] が最初だろう。 Étale homotopy 論は, その後 Friedlander を中心に研究された。逆に, Friedlander の学生だった Joshua は, Becker-Gottlieb transferSpanier-Whitehead dual など, いくつかの安定ホモトピー論における概念を, 代数幾何に導入することに成功 [Jos86; Jos87] している。

  • étale topology
  • Nisnevich topology

“Scheme のホモトピー論”と言えるものを完成させたのは, 90年代の Voevodsky の仕事であると言っていいだろう。その解説として [Dug] がある。Grothendieck が提案した motif の圏を構成するという問題へのアプローチの一つである。

逆に, 位相空間から代数幾何的 object を作るということも行なわれている。 [Toë06; KPT09] などである。

数理物理やそれに関連した代数幾何や quantum algebra などでもstack や, 次のような概念が一般的に使われるようになってきた。これらも Grothendieck のアイデアが元になっているものである。

Derivateur という概念もある。英語だと derivator というのだろうか。 Georges Maltsiniotis の websiteGrothendieck の未発表原稿のファイルが置いてある。

Riemann 面の moduli などに関係したこととして, dessins d’enfant という概念がある。曲面上に描かれた (埋め込まれた) quiver のことであるが。

これは, 素朴な概念なので, 様々な分野で独立に登場し使われている。

References

[Bor94]

Francis Borceux. Handbook of categorical algebra. 3. Vol. 52. Encyclopedia of Mathematics and its Applications. Categories of sheaves. Cambridge: Cambridge University Press, 1994, pp. xviii+522. isbn: 0-521-44180-3.

[Car01]

Pierre Cartier. “A mad day’s work: from Grothendieck to Connes and Kontsevich. The evolution of concepts of space and symmetry [in Les relations entre les mathématiques et la physique théorique, 23–42, Inst. Hautes Études Sci., Bures-sur-Yvette, 1998; MR1667896 (2000c:01028)]”. In: Bull. Amer. Math. Soc. (N.S.) 38.4 (2001). Translated from the French by Roger Cooke, 389–408 (electronic). url: http://dx.doi.org/10.1090/S0273-0979-01-00913-2.

[Dug]

Daniel Dugger. Notes on the Milnor conjectures. arXiv: math/0408436.

[FK88]

Eberhard Freitag and Reinhardt Kiehl. Étale cohomology and the Weil conjecture. Vol. 13. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (3) [Results in Mathematics and Related Areas (3)]. Translated from the German by Betty S. Waterhouse and William C. Waterhouse, With an historical introduction by J. A. Dieudonné. Springer-Verlag, Berlin, 1988, pp. xviii+317. isbn: 3-540-12175-7. url: http://dx.doi.org/10.1007/978-3-662-02541-3.

[Ill71]

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[Ill72]

Luc Illusie. Complexe cotangent et déformations. II. Lecture Notes in Mathematics, Vol. 283. Berlin: Springer-Verlag, 1972, pp. vii+304.

[Joh01]

Mark W. Johnson. “A sheaf-theoretic view of loop spaces”. In: Theory Appl. Categ. 8 (2001), pp. 490–508.

[Jos86]

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[Jos87]

Roy Joshua. “Becker-Gottlieb transfer in étale homotopy”. In: Amer. J. Math. 109.3 (1987), pp. 453–497. url: http://dx.doi.org/10.2307/2374564.

[KPT09]

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[Mil80]

James S. Milne. Étale cohomology. Vol. 33. Princeton Mathematical Series. Princeton, N.J.: Princeton University Press, 1980, pp. xiii+323. isbn: 0-691-08238-3.

[MM94]

Saunders Mac Lane and Ieke Moerdijk. Sheaves in geometry and logic. Universitext. A first introduction to topos theory, Corrected reprint of the 1992 edition. New York: Springer-Verlag, 1994, pp. xii+629. isbn: 0-387-97710-4.

[MM96]

S. MacLane and I. Moerdijk. “Topos theory”. In: Handbook of algebra, Vol. 1. Amsterdam: North-Holland, 1996, pp. 501–528. url: http://dx.doi.org/10.1016/S1570-7954(96)80018-0.

[Qui68]

Daniel G. Quillen. “Some remarks on etale homotopy theory and a conjecture of Adams”. In: Topology 7 (1968), pp. 111–116. url: https://doi.org/10.1016/0040-9383(68)90017-7.

[Qui73]

Daniel Quillen. “Higher algebraic \(K\)-theory. I”. In: Algebraic \(K\)-theory, I: Higher \(K\)-theories (Proc. Conf., Battelle Memorial Inst., Seattle, Wash., 1972). Berlin: Springer, 1973, 85–147. Lecture Notes in Math., Vol. 341.

[SGA103]

A. Grothendieck. Revêtements étales et groupe fondamental (SGA 1). Documents Mathématiques (Paris) [Mathematical Documents (Paris)], 3. Séminaire de géométrie algébrique du Bois Marie 1960–61. [Algebraic Geometry Seminar of Bois Marie 1960-61], Directed by A. Grothendieck, With two papers by M. Raynaud, Updated and annotated reprint of the 1971 original [Lecture Notes in Math., 224, Springer, Berlin; MR0354651 (50 #7129)]. Paris: Société Mathématique de France, 2003, pp. xviii+327. isbn: 2-85629-141-4. arXiv: math/0206203.

[Str99]

Neil P. Strickland. “Formal schemes and formal groups”. In: Homotopy invariant algebraic structures (Baltimore, MD, 1998). Vol. 239. Contemp. Math. Providence, RI: Amer. Math. Soc., 1999, pp. 263–352. arXiv: math/0011121. url: http://dx.doi.org/10.1090/conm/239/03608.

[Toë06]

Bertrand Toën. “Champs affines”. In: Selecta Math. (N.S.) 12.1 (2006), pp. 39–135. arXiv: math/0012219. url: http://dx.doi.org/10.1007/s00029-006-0019-z.

[Vis05]

Angelo Vistoli. “Grothendieck topologies, fibered categories and descent theory”. In: Fundamental algebraic geometry. Vol. 123. Math. Surveys Monogr. Providence, RI: Amer. Math. Soc., 2005, pp. 1–104. arXiv: math/0412512.

[山下純03]

山下純一. グロタンディーク. 東京: 日本評論社, 2003, p. 173.