Local Cohomology and Related Topics

Local cohomology は, Grothendieck により relative homology の scheme 版として導入された。 その段階の文献は, Hartshorne の [Har66] と Grothendieck の [Har67] である。 その後, 様々に拡張されている。

Scheme に対して定義されるということは, 可換環を調べるためにも使えるということであり, その方向での文献としては, Brodmann と Sharp の本 [BS98] や Bruns と Herzog の本 [BH93] がある。まず最初に読むのなら, Huneke の lecture note [Hun07] がいいような気がする。

ホモトピー論では, 当然それを commutative ring spectrum に一般化したいところであるし, 実際そのような拡張は定義されている。 最初に考えたのが誰か, よく分からないが, 例えば Bruner, Greenlees, Rognes の [BGR] で, commutative ring spectrum (\(S\)-algebra) \(R\) と \(R\)-module \(M\) と \(\pi _{*}(R)\) の有限生成イデアル \(J\) からの local cohomology spectrum \(\Gamma _{J}M\) の構成が書かれている。

• local cohomology spectrum

別の方向では, Greenlees と May [GM92; GM95] による homology 版がある。その scheme への global 化は Alonso Tarrío, Jeremías López, Lipman [AJL97] により定義されている。

• local homology

この local homology と local cohomology の関係を local duality と呼ぶ。 字面だけ見ると, 「局所的に成り立つ双対性」のように読めるので, あまり良い用語ではないと思うが, 一般的に使われているようである。

• local duality

この local duality の枠組みとしては, symmetric monoidal stable \(\infty \)-category を用いた, Barthel ら [BHV18b] が導入したものがある。既存の local duality はこの枠組みに収まるようである。彼等は, この枠組みを用いて, [BHV18a] で commutative ring spectrum の場合を考えている。

• local duality context

References

[AJL97]

Leovigildo Alonso Tarrı́o, Ana Jeremı́as López, and Joseph Lipman. “Local homology and cohomology on schemes”. In: Ann. Sci. École Norm. Sup. (4) 30.1 (1997), pp. 1–39. url: http://dx.doi.org/10.1016/S0012-9593(97)89914-4.

[BGR]

Robert Bruner, John Greenlees, and John Rognes. The local cohomology spectral sequence for topological modular forms. arXiv: 2107.02272.

[BH93]

Winfried Bruns and Jürgen Herzog. Cohen-Macaulay rings. Vol. 39. Cambridge Studies in Advanced Mathematics. Cambridge: Cambridge University Press, 1993, pp. xii+403. isbn: 0-521-41068-1.

[BHV18a]

Tobias Barthel, Drew Heard, and Gabriel Valenzuela. “Local duality for structured ring spectra”. In: J. Pure Appl. Algebra 222.2 (2018), pp. 433–463. arXiv: 1608.03135. url: https://doi.org/10.1016/j.jpaa.2017.04.012.

[BHV18b]

Tobias Barthel, Drew Heard, and Gabriel Valenzuela. “Local duality in algebra and topology”. In: Adv. Math. 335 (2018), pp. 563–663. arXiv: 1511.03526. url: https://doi.org/10.1016/j.aim.2018.07.017.

[BS98]

M. P. Brodmann and R. Y. Sharp. Local cohomology: an algebraic introduction with geometric applications. Vol. 60. Cambridge Studies in Advanced Mathematics. Cambridge: Cambridge University Press, 1998, pp. xvi+416. isbn: 0-521-37286-0. url: http://dx.doi.org/10.1017/CBO9780511629204.

[GM92]

J. P. C. Greenlees and J. P. May. “Derived functors of \(I\)-adic completion and local homology”. In: J. Algebra 149.2 (1992), pp. 438–453. url: http://dx.doi.org/10.1016/0021-8693(92)90026-I.

[GM95]

J. P. C. Greenlees and J. P. May. “Completions in algebra and topology”. In: Handbook of algebraic topology. Amsterdam: North-Holland, 1995, pp. 255–276. url: http://dx.doi.org/10.1016/B978-044481779-2/50008-0.

[Har66]

Robin Hartshorne. Residues and duality. Lecture notes of a seminar on the work of A. Grothendieck, given at Harvard 1963/64. With an appendix by P. Deligne. Lecture Notes in Mathematics, No. 20. Springer-Verlag, Berlin-New York, 1966, pp. vii+423.

[Har67]

Robin Hartshorne. Local cohomology. Vol. 1961. A seminar given by A. Grothendieck, Harvard University, Fall. Springer-Verlag, Berlin-New York, 1967, pp. vi+106.

[Hun07]

Craig Huneke. “Lectures on local cohomology”. In: Interactions between homotopy theory and algebra. Vol. 436. Contemp. Math. Appendix 1 by Amelia Taylor. Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2007, pp. 51–99. url: https://doi.org/10.1090/conm/436/08404.