Higher Algebraic K-theory by Quillen

全ての \(n\) に対し通用するalgebraic \(K\)-theory の定義を発見したのは Quillen である。Quillen の higher algebraic \(K\)-theory の構成には2通りの方法がある。

• plus construction とそれによる higher algebraic \(K\)-theory の定義 [Qui71]
• \(Q\)-construction とそれによる higher algebraic \(K\)-theory の定義 [Qui73]

Plus construction は位相空間に対する構成, \(Q\)-constructionは exact category に対する構成である。

より正確には, 前者では, 環 \(R\) から群 \(\GL (R)\) を作り, その分類空間 \(BGL(R)\) の \(+\)-construction を用いて \[ K(R) = K_{0}(R) \times BGL(R)^{+} \] と定義する。後者は, 一般の exact category に対する構成であるが, 特に finitely generated projective \(R\)-module の成す exact category に適用すると, 前者と同じものが得られる。 このことの証明は, Grayson の [Gra76] にある。

この Grayson の論文では, symmetric monoidal category \(\bm {S}\) から新しい symmetric monoidal category \(\bm {S}^{-1}\bm {S}\) を作る方法について書かれているが, これも Quillen のアイデアのようである。 そして, その分類空間 \(B(\bm {S}^{-1}\bm {S})\) のホモトピー群を symmetric monoidal category の algebraic \(K\)-theory と呼ぶ。

• symmetric monoidal category の algebraic \(K\)-theory

\(Q\)-construction では, exact category \(\bm {A}\) から small category \(Q(\bm {A})\) を作り, その分類空間のループ空間 \(\Omega BQ(\bm {A})\) として algebraic \(K\)-theory spectrum (の最初の空間) \(K(\bm {A})\) を作る。\(\Omega B\) を取らなくてもよい構成として, Gillet と Grayson によるもの [GG87] もある。

• Gillet-Grayson construction

Quillen の higher algebraic \(K\)-theory の構成については, Geometric Langlands seminar のページにある S. Bloch の講義 note に非常に簡潔にまとめられている。 それを読んでから原論文にあたるのがよいかもしれない。

Grayson [Gra12] は, exact category の \(K\)-theory を, 「生成元と関係式」により表示することに成功している。 その続編の [Gra]では, relative \(K\)-theory の表示を得ている。これまでは, Quillen流の exact category の \(K\)-theory を使うためには, かなり高度なホモトピー論の手法を勉強しなければならなかったし, 具体的に元を扱うのが難しかったが, この Grayson の表示を使えば, Quillen の algebraic \(K\)-theory の元に対する操作を定義することができるようになる。例えば, Harris と Köck と Taelman [HKT17] は power operation を定義するのに使っている。

• Grayson の表示

位相空間の \(K\)-theory との比較では, Bott periodicity が成り立つかどうかというのは自然な疑問であるが, それについては, Berrick, Karoubi, Østvær の [BKØ11] の introduction を見るのがよい。

• algebraic \(K\)-theory with finite coefficients の periodicity

Quillen [Qui73] が証明した algebraic \(K\)-theory の基本的な性質として, dévissage theorem と locailzation theorem がある。

• dévissage theorem
• localization theorem

その ring spectrum 版を Barwick と Lawson [BL] が考えている。

References

[BKØ11]

A. J. Berrick, M. Karoubi, and P. A. Østvær. “Periodicity of Hermitian \(K\)-groups”. In: J. K-Theory 7.3 (2011), pp. 429–493. arXiv: 1101.2056. url: http://dx.doi.org/10.1017/is011004009jkt151.

[BL]

Clark Barwick and Tyler Lawson. Regularity of structured ring spectra and localization in \(K\)-theory. arXiv: 1402.6038.

[GG87]

Henri Gillet and Daniel R. Grayson. “The loop space of the \(Q\)-construction”. In: Illinois J. Math. 31.4 (1987), pp. 574–597. url: http://projecteuclid.org/euclid.ijm/1256063571.

[Gra]

Daniel R. Grayson. Relative algebraic K-theory by elementary means. arXiv: 1310.8644.

[Gra12]

Daniel R. Grayson. “Algebraic \(K\)-theory via binary complexes”. In: J. Amer. Math. Soc. 25.4 (2012), pp. 1149–1167. url: http://dx.doi.org/10.1090/S0894-0347-2012-00743-7.

[Gra76]

Daniel Grayson. “Higher algebraic \(K\)-theory. II (after Daniel Quillen)”. In: Algebraic \(K\)-theory (Proc. Conf., Northwestern Univ., Evanston, Ill., 1976). Berlin: Springer, 1976, 217–240. Lecture Notes in Math., Vol. 551.

[HKT17]

Tom Harris, Bernhard Köck, and Lenny Taelman. “Exterior power operations on higher \(K\)-groups via binary complexes”. In: Ann. K-Theory 2.3 (2017), pp. 409–449. arXiv: 1607 . 01685. url: https://doi.org/10.2140/akt.2017.2.409.

[Qui71]

Daniel Quillen. “Cohomology of groups”. In: Actes du Congrès International des Mathématiciens (Nice, 1970), Tome 2. Paris: Gauthier-Villars, 1971, pp. 47–51.

[Qui73]

Daniel Quillen. “Higher algebraic \(K\)-theory. I”. In: Algebraic \(K\)-theory, I: Higher \(K\)-theories (Proc. Conf., Battelle Memorial Inst., Seattle, Wash., 1972). Berlin: Springer, 1973, 85–147. Lecture Notes in Math., Vol. 341.