Incidence Geometry

Euclid流の古典的な幾何学では, 点や直線などの, 直接の定義は与えられない。「ある点がある直線上にある」 などといった, それらの間の関係が決っているだけである。 つまり \(P\) と \(L\) が与えられ, \(P\) の元のことを「点」, \(L\) の元のことを「直線」と呼ぶ。そして \(x\in P\) と \(\ell \in L\) に対し, 「\(\ell \) が \(x\) を通る」ということを表す関係 \(x*\ell \) が定まっているわけである。

これを一般化したものを incidence geometry と呼ぶ。どうやら Tits [Tit57] が考えたもののようである。

いくつか本もでていて, Buekenhout と Cohen の [BC13], Pasini の [Pas94], Buekenhout の handbook [Bue95] などがある。

Tits は, semisimple algebraic group から “geometry” を構成することを考えたのであるが, Carr と Garibaldi [GC06] に書かれているように, 現在では, 代数群からは incidence geometry ではなく building を作る方が一般的なようである。

• building

例としては, 以下のようなものがある。

• projective geometry
• Fano plane
• partial linear space や linear space [Pan11]
• hypertope [FLW16]

Fano plane は \(\F _{2}\) 上の射影平面であるが, 良く知られているように Freudenthal [Fre51; Fre85] により 八元数 の構成に用いられている。 これについては Rausch de Traubenberg と Slupinski の [RS22] を見るとよい。

Hypertope は abstract polytope の枠組みの1つである。

平面曲線の arrangement, 特に曲線達が transversal に交わっている場合は, それらの交点がどの曲線に含まれるかという incidence の関係が重要である。 Pokora と Römer の [PR22] は, Levi graph という incidence の関係から定義される bipartite graph を用いて平面曲線の arrangement を調べている。

• Levi graph

References

[BC13]

Francis Buekenhout and Arjeh M. Cohen. Diagram geometry. Vol. 57. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Folge. A Series of Modern Surveys in Mathematics [Results in Mathematics and Related Areas. 3rd Series. A Series of Modern Surveys in Mathematics]. Related to classical groups and buildings. Springer, Heidelberg, 2013, pp. xiv+592. isbn: 978-3-642-34452-7; 978-3-642-34453-4. url: http://dx.doi.org/10.1007/978-3-642-34453-4.

[Bue95]

F. Buekenhout, ed. Handbook of incidence geometry. Buildings and foundations. Amsterdam: North-Holland, 1995, pp. xii+1420. isbn: 0-444-88355-X.

[FLW16]

Maria Elisa Fernandes, Dimitri Leemans, and Asia Ivić Weiss. “Highly symmetric hypertopes”. In: Aequationes Math. 90.5 (2016), pp. 1045–1067. arXiv: 1604.03162. url: https://doi.org/10.1007/s00010-016-0431-1.

[Fre51]

Hans Freudenthal. Oktaven, Ausnahmegruppen und Oktavengeometrie. Rijksuniversiteit Utrecht, Mathematisch Instituut, Utrecht, 1951, pp. i+49.

[Fre85]

Hans Freudenthal. “Oktaven, Ausnahmegruppen und Oktavengeometrie”. In: Geom. Dedicata 19.1 (1985), pp. 7–63. url: https://doi.org/10.1007/BF00233101.

[GC06]

Skip Garibaldi and Michael Carr. “Geometries, the principle of duality, and algebraic groups”. In: Expo. Math. 24.3 (2006), pp. 195–234. arXiv: math/0503201. url: https://doi.org/10.1016/j.exmath.2005.11.001.

[Pan11]

Mark Pankov. “Metric characterization of apartments in dual polar spaces”. In: J. Combin. Theory Ser. A 118.4 (2011), pp. 1313–1321. arXiv: 1009 . 1997. url: https://doi.org/10.1016/j.jcta.2010.12.009.

[Pas94]

Antonio Pasini. Diagram geometries. Oxford Science Publications. The Clarendon Press, Oxford University Press, New York, 1994, pp. viii+488. isbn: 0-19-853497-3.

[PR22]

Piotr Pokora and Tim Römer. “Algebraic properties of Levi graphs associated with curve arrangements”. In: Res. Math. Sci. 9.2 (2022), Paper No. 30, 17. arXiv: 2201 . 11788. url: https://doi.org/10.1007/s40687-022-00325-3.

[RS22]

Michel Rausch de Traubenberg and Marcus Slupinski. “Incidence geometry of the Fano plane and Freudenthal’s ansatz for the construction of octonions and split octonions”. In: Innov. Incidence Geom. 19.4 (2022), pp. 165–181. arXiv: 2203 . 03261. url: https://doi.org/10.2140/iig.2022.19.165.

[Tit57]

J. Tits. “Sur les analogues algébriques des groupes semi-simples complexes”. In: Colloque d’algèbre supérieure, tenu à Bruxelles du 19 au 22 décembre 1956. Centre Belge de Recherches Mathématiques. Établissements Ceuterick, Louvain, 1957, pp. 261–289.