Quotients of Categories by Groups

何かに群 \(G\) がある圏 \(C\) の object \(X\) に作用するときには, その作用による商 \(X/G\) を考えたくなる。 \(C\) が small category の category \(\Cat \) のとき, つまり 群の圏への作用の場合にも, 様々な構成が考えられている。

例えば, 群 \(G\) が \(k\)- linear category \(\bm {C}\) に作用しているときには, Cibils と Marcos [CM06] の構成がある。 Keller [Kel05] や Asashiba [Asa11] でも同様の性質を持つ構成が定義され, orbit category と呼ばれている。また Asashiba は, これら三つの構成が同型であることも示している。

• 群が \(k\)-linear category に作用しているときに, その orbit category あるいは skew category

群の作用で「割ってはいけないときに割りたい」というのは, 様々な場面で現れる状況であり, 代数幾何学などでは stack, ホモトピー論では Borel construction など, 各分野で様々な解決法が考えられてきた。群の \(k\)-linear category への作用の場合の解決法が, orbit category の構成である。群の poset への作用のときには, Borcherds [Bor98] に同様の構成があり, homotopy quotient と呼ばれている。 Triangulated category への 群の作用を考えるときに, dg enhancement を使っているのは, Sosna の [Sos12] である。

同じ motivation に基づいて構成されたものなので, これらの間に何らかの関係があると考えるのは自然であるが, 実際 orbit category の構成は, \(k\)-linear category での Borel construction と考えてもよい。 Borel construction は, homotopy colimit の特別な場合であり, Thomason [Tho79] により homotopy colimit と Grothendieck construction は, 分類空間を通して対応していることが示されているが, orbit category の構成は, \(k\)-linear category の category での Grothendieck construction と考えられる。

• small category の図式に対する Grothendieck construction

より現代的に, \(E_{\infty }\)-ring spectrum 上の stable \(\infty \)-category に対する群作用を考えたものとして, Christ の [Chr] がある。 そこでは skew group ring の ring spectrum 版である skew group ring spectrum も導入されている。

また, triangulated category が model category による enhancement を持つ場合, model category の category での homotopy colimit [Ber14] を quotient と考えるというアイデアもある。Bergner と Robertson の [BR15] で考えられている。

• model category の homotopy colimit

Enrich されていない場合は, Grothendieck construction の right adjoint として comma category による構成があるが, \(k\)-linear category の場合は smash product construction という構成がある。これは, \(G\)-graded category から \(G\) の作用する category を構成する方法である。Asashiba [Asa] は, Grothendieck construction と smash product construction により \(G\) の作用する \(k\)-linear category の成す \(2\)-category と \(G\)-graded category の成す \(2\)-category が equivalent になることを証明している。

• graded category
• \(k\)-linear categoryのsmash product construction

このような軟弱な quotient ではなく, 本当に割りたい場合もある。 割ったものの 分類空間と, 分類空間をとってから割ったものの関係については, Babson と Kozlov [BK05] が poset の場合を中心に考えている。

References

[Asa]

Hideto Asashiba. A generalization of Gabriel’s Galois covering functors II: 2-categorical Cohen-Montgomery duality. arXiv: 0905.3884.

[Asa11]

Hideto Asashiba. “A generalization of Gabriel’s Galois covering functors and derived equivalences”. In: J. Algebra 334 (2011), pp. 109–149. arXiv: 0807.4706. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.jalgebra.2011.03.002.

[Ber14]

Julia E. Bergner. “Homotopy colimits of model categories”. In: An alpine expedition through algebraic topology. Vol. 617. Contemp. Math. Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2014, pp. 31–37. arXiv: 1212.4541. url: https://doi.org/10.1090/conm/617/12304.

[BK05]

Eric Babson and Dmitry N. Kozlov. “Group actions on posets”. In: J. Algebra 285.2 (2005), pp. 439–450. arXiv: math/0310055. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.jalgebra.2001.07.002.

[Bor98]

Richard E. Borcherds. “Coxeter groups, Lorentzian lattices, and \(K3\) surfaces”. In: Internat. Math. Res. Notices 19 (1998), pp. 1011–1031. arXiv: math/9806141. url: http://dx.doi.org/10.1155/S1073792898000609.

[BR15]

Julia E. Bergner and Marcy Robertson. “Cluster categories for topologists”. In: Stacks and categories in geometry, topology, and algebra. Vol. 643. Contemp. Math. Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2015, pp. 25–35. arXiv: 1308.2560. url: https://doi.org/10.1090/conm/643/12895.

[Chr]

Merlin Christ. \(\infty \)-categorical group quotients via skew group algebras. arXiv: 2501.13666.

[CM06]

Claude Cibils and Eduardo N. Marcos. “Skew category, Galois covering and smash product of a \(k\)-category”. In: Proc. Amer. Math. Soc. 134.1 (2006), 39–50 (electronic). arXiv: math/0312214. url: http://dx.doi.org/10.1090/S0002-9939-05-07955-4.

[Kel05]

Bernhard Keller. “On triangulated orbit categories”. In: Doc. Math. 10 (2005), pp. 551–581. arXiv: math/0503240.

[Sos12]

Pawel Sosna. “Linearisations of triangulated categories with respect to finite group actions”. In: Math. Res. Lett. 19.5 (2012), pp. 1007–1020. arXiv: 1108.2144. url: https://doi.org/10.4310/MRL.2012.v19.n5.a4.

[Tho79]

R. W. Thomason. “Homotopy colimits in the category of small categories”. In: Math. Proc. Cambridge Philos. Soc. 85.1 (1979), pp. 91–109. url: http://dx.doi.org/10.1017/S0305004100055535.