Baum-Connes Conjecture

Higson の解説 [Hig98] によると, Baum-Connes 予想は, [BC00] の中で提案されたものである。 この論文が書かれたのは 1982年であるが, 2000年になってやっと出版された。 その動機は, Connes の foliation に関する仕事 [Con82] と Baum-Douglas の geometric \(K\)-homology [BD82] のようである。

(位相) 群 \(G\) に対し, 分類空間 \(BG\) の topological \(K\)-theory と \(G\) の reduced group \(C^{*}\)-algebra の \(K\)-theory との関係を述べるものであり, 類似の予想も色々ある。

• Novikov-type conjectures or isomorphism conjectures

これらの予想については, Lück の本 [Lüc25] を読むべきだろう。 Baum-Connes 予想については, Part II の Chapter 14 に書かれている。

Baum-Connes 予想自体の一般化や変種も色々考えられている。

Baum-Connes 予想の実数版については, Baum と Karoubi [BK04] により, 複素数版が成り立つなら成り立つことが証明されている。

Baum-Connes 予想の quantum group 版も考えられている。Voigtの [Voi11] など。

Meyer と Nest [MN06] は, Kasparov category という Kasparov の \(KK\)-theory を用いた圏を用いて, Baum-Connes assembly map を記述しょうとしている。

J. Block は [Blo10] で, Baum-Connes 予想の \(K\)-theory の同型と, 代数幾何学や 数理物理学などでの derived equivalence を統一して扱うために, dg category などを用いた枠組みを考えているが, Balmer と Tabuada のより topological なものと本質的に同じなのだろうか。

References

[BC00]

Paul Baum and Alain Connes. “Geometric \(K\)-theory for Lie groups and foliations”. In: Enseign. Math. (2) 46.1-2 (2000), pp. 3–42.

[BD82]

Paul Baum and Ronald G. Douglas. “\(K\) homology and index theory”. In: Operator algebras and applications, Part I (Kingston, Ont., 1980). Vol. 38. Proc. Sympos. Pure Math. Providence, R.I.: Amer. Math. Soc., 1982, pp. 117–173.

[BK04]

Paul Baum and Max Karoubi. “On the Baum-Connes conjecture in the real case”. In: Q. J. Math. 55.3 (2004), pp. 231–235. arXiv: math/0509495. url: http://dx.doi.org/10.1093/qjmath/55.3.231.

[Blo10]

Jonathan Block. “Duality and equivalence of module categories in noncommutative geometry”. In: A celebration of the mathematical legacy of Raoul Bott. Vol. 50. CRM Proc. Lecture Notes. Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2010, pp. 311–339. arXiv: math/0509284. url: https://doi.org/10.1090/crmp/050/24.

[Con82]

A. Connes. “A survey of foliations and operator algebras”. In: Operator algebras and applications, Part I (Kingston, Ont., 1980). Vol. 38. Proc. Sympos. Pure Math. Providence, R.I.: Amer. Math. Soc., 1982, pp. 521–628.

[Hig98]

Nigel Higson. “The Baum-Connes conjecture”. In: Proceedings of the International Congress of Mathematicians, Vol. II (Berlin, 1998). Extra Vol. II. 1998, 637–646 (electronic).

[Lüc25]

Wolfgang Lück. Isomorphism conjectures in \(K\)- and \(L\)-theory. Vol. 78. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Folge. A Series of Modern Surveys in Mathematics [Results in Mathematics and Related Areas. 3rd Series. A Series of Modern Surveys in Mathematics]. With contributions by Christoph Winges. Springer, Cham, [2025] ©2025, pp. xxi+874. isbn: 978-3-031-98975-9; 978-3-031-98976-6. url: https://doi.org/10.1007/978-3-031-98976-6.

[MN06]

Ralf Meyer and Ryszard Nest. “The Baum-Connes conjecture via localisation of categories”. In: Topology 45.2 (2006), pp. 209–259. arXiv: math/0312292. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.top.2005.07.001.

[Voi11]

Christian Voigt. “The Baum-Connes conjecture for free orthogonal quantum groups”. In: Adv. Math. 227.5 (2011), pp. 1873–1913. arXiv: 0911.2999. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.aim.2011.04.008.