Stone Duality

Stone [Sto36] は, Stone space と Boolean algebra の間の双対性を証明した。 Stone space とは, compact, Hausdorff, totally disconnected space のことであるが, これは profinite set と同じことである。 他にもいくつかの特徴付けがあるが, それについては Johnstone の本 [Joh82] にまとめられている。

• Stone space
• Boolean algebra

Stone duality については, Johnstone の本以外にも様々な解説がある。 以下は, 目にしたものを記録ものである。

• Stone の論文 [Sto37]
• Doctor の論文 [Doc64]
• Givant と Halmos の本 [GH09]
• Lurie の本 [Lura] の Appendix A.1
• Krause と Letz の [KL23] の section 2

Lurie の本の Appendix A.1では, coherent space と distributive lattice の間 duality として書かれている。 他にも, sober space と spatial frame の間の duality という形もある。

• Stone duality for coherent spaces and distributive lattices
• Stone duality for sober spaces and spatial frames

数理論理学的拡張としては, Makkai の [Mak87] がある。そのために ultracategory の概念が導入されている。 この辺のことについては, Lurie の解説 [Lurb] がある。

• ultracategory

他にも Stone duality の拡張は様々な人により考えられている。

• topological convexity space への拡張 [Ken23]
• sheaf-theoretic extension [BG23]
• noncommutative Stone duality [Law23]
• condensed set への拡張 [Gre]

References

[BG23]

Clemens Berger and Mai Gehrke. “Stone duality for spectral sheaves and the patch monad”. In: J. Pure Appl. Algebra 227.6 (2023), Paper No. 107306, 34. arXiv: 2202.00084. url: https://doi.org/10.1016/j.jpaa.2022.107306.

[Doc64]

Hoshang P. Doctor. “The categories of Boolean lattices, Boolean rings and Boolean spaces”. In: Canad. Math. Bull. 7 (1964), pp. 245–252.

[GH09]

Steven Givant and Paul Halmos. Introduction to Boolean algebras. Undergraduate Texts in Mathematics. New York: Springer, 2009, pp. xiv+574. isbn: 978-0-387-40293-2. url: http://dx.doi.org/10.1007/978-0-387-68436-9.

[Gre]

Rok Gregoric. Stone duality between condensed mathematics and algebraic geometry. arXiv: 2401.02568.

[Joh82]

Peter T. Johnstone. Stone spaces. Vol. 3. Cambridge Studies in Advanced Mathematics. Cambridge University Press, Cambridge, 1982, pp. xxi+370. isbn: 0-521-23893-5.

[Ken23]

Toby Kenney. “Stone duality for topological convexity spaces”. In: Cah. Topol. Géom. Différ. Catég. 64.3 (2023), pp. 243–286. arXiv: 2201.09819.

[KL23]

Henning Krause and Janina C. Letz. “The spectrum of a well-generated tensor-triangulated category”. In: Bull. Lond. Math. Soc. 55.2 (2023), pp. 680–705. arXiv: 2203.03249.

[Law23]

Mark V. Lawson. “Non-commutative Stone duality”. In: Semigroups, algebras and operator theory. Vol. 436. Springer Proc. Math. Stat. Springer, Singapore, [2023] ©2023, pp. 11–66. isbn: 978-981-99-6348-5; 978-981-99-6349-2. arXiv: 2207.02686. url: https://doi.org/10.1007/978-981-99-6349-2_2.

[Lura]

Jacob Lurie. Spectral Algebraic Geometry. url: https://www.math.ias.edu/~lurie/papers/SAG-rootfile.pdf.

[Lurb]

Jacob Lurie. Ultracategories. url: https://www.math.ias.edu/~lurie/papers/Conceptual.pdf.

[Mak87]

M. Makkai. “Stone duality for first order logic”. In: Adv. in Math. 65.2 (1987), pp. 97–170. url: https://doi.org/10.1016/0001-8708(87)90020-X.

[Sto36]

M. H. Stone. “The theory of representations for Boolean algebras”. In: Trans. Amer. Math. Soc. 40.1 (1936), pp. 37–111. url: https://doi.org/10.2307/1989664.

[Sto37]

M. H. Stone. “Applications of the theory of Boolean rings to general topology”. In: Trans. Amer. Math. Soc. 41.3 (1937), pp. 375–481. url: http://dx.doi.org/10.2307/1989788.