Edgewise Subdivision

単体的複体や simplicial set, そして small category の細分としては, 重心細分が有名であるが, 他にも edgewise subdivision あるいは Segal subdivision と呼ばれるものも, 様々な場面で登場する。

まず, 単体的複体の場合は, Brun と Römer の [BR05] の section 6 にまとめられている。Brenti と Welker の [BW09] の section 4 に書かれているように, 元々代数的トポロジーで導入されたものであり, 最近になって discrete geometry [GP95; EG00] や 組み合せ論で使われるようになったようである。

• edgwise subdivision of simplicial complex

その代数的トポロジーでの登場は, Grayson の algebraic \(K\)-theory に関する lecture note [Gra] によると, Segal の [Seg73] が最初である。 これは, small category の edgewise subdivision である。 Segal によると, アイデアは Quillen によるらしい。 Weibel の [Wei01]でも Quillen による, と書かれている。 Weibel の本 [Wei13] (Chapter IV Ex.3.9) では Segal subdivision と呼ばれているので, ここでもそう呼ぶことにする。

• Segal subdivision of small category

Grayson 自身 [Gra89] で使っているが, R. Cohen と J.D.S. Jones と G. Segal による Morse homotopy theory [CJS95] や embedding calculus に対する Goodwillie と Klein と Weiss の [GKW03] でも使われている。 Grayson によると Bökstedt と Goodwillie によっても独立に考えられた, らしい。 ただ, Brenti と Welker [BW09] は Freundenthal の [Fre42] を参照しているので, 単体的複体の場合は, これが最初かもしれない。この Freudenthal の論文は, 読んだことがないのだが。

Small category の Baues-Wirsching cohomology の係数 (natural system) の定義でも使われるが, そこでは category of factorization と呼ばれている。

最近では, small category の場合は, twisted arrow category と呼ばれることが多いように思える。 Gálvez-Carrillo と Kock と Tonks の [GKT] ではそう呼ばれているし, 2014年に大連で開催された代数的トポロジーに関する ICM satellite conference と workshop の講演でもその名前が登場した。

この呼び名は Dwyer と Kan の [DK88] で導入されたのだろうか。 nLab のページ によると, Lawvere の [Law70] で twisted morphism category という名前が登場するようなので, これが最初かもしれない。

Lurie の書いたもの, 例えば [Lur] の §5.2.1, では, その \((\infty ,1)\)-category 版が twisted arrow \(\infty \)-category と呼ばれているので, これからは twisted arrow category という名前の方が一般的になっていきそうな気がする。

Higher category 版としては, 他にも, \(2\)-Segal space の edgewise subdivision が Bergner ら [Ber+20] によって調べられている。

• edgewise subdivision of \(2\)-Segal object

References

[Ber+20]

Julia E. Bergner, Angélica M. Osorno, Viktoriya Ozornova, Martina Rovelli, and Claudia I. Scheimbauer. “The edgewise subdivision criterion for 2-Segal objects”. In: Proc. Amer. Math. Soc. 148.1 (2020), pp. 71–82. arXiv: 1807.05069. url: https://doi.org/10.1090/proc/14679.

[BR05]

Morten Brun and Tim Römer. “Subdivisions of toric complexes”. In: J. Algebraic Combin. 21.4 (2005), pp. 423–448. arXiv: math/0401292. url: http://dx.doi.org/10.1007/s10801-005-3020-2.

[BW09]

Francesco Brenti and Volkmar Welker. “The Veronese construction for formal power series and graded algebras”. In: Adv. in Appl. Math. 42.4 (2009), pp. 545–556. arXiv: 0712.2645. url: https://doi.org/10.1016/j.aam.2009.01.001.

[CJS95]

R. L. Cohen, J. D. S. Jones, and G. B. Segal. “Floer’s infinite-dimensional Morse theory and homotopy theory”. In: The Floer memorial volume. Vol. 133. Progr. Math. Basel: Birkhäuser, 1995, pp. 297–325.

[DK88]

W. G. Dwyer and D. M. Kan. “Hochschild-Mitchell cohomology of simplicial categories and the cohomology of simplicial diagrams of simplicial sets”. In: Nederl. Akad. Wetensch. Indag. Math. 50.2 (1988), pp. 111–120.

[EG00]

H. Edelsbrunner and D. R. Grayson. “Edgewise subdivision of a simplex”. In: Discrete Comput. Geom. 24.4 (2000). ACM Symposium on Computational Geometry (Miami, FL, 1999), pp. 707–719. url: http://dx.doi.org/10.1145/304893.304897.

[Fre42]

Hans Freudenthal. “Simplizialzerlegungen von beschränkter Flachheit”. In: Ann. of Math. (2) 43 (1942), pp. 580–582. url: https://doi.org/10.2307/1968813.

[GKT]

Imma Gálvez-Carrillo, Joachim Kock, and Andrew Tonks. Decomposition Spaces, Incidence Algebras and Möbius Inversion. arXiv: 1404.3202.

[GKW03]

Thomas G. Goodwillie, John R. Klein, and Michael S. Weiss. “A Haefliger style description of the embedding calculus tower”. In: Topology 42.3 (2003), pp. 509–524. url: http://dx.doi.org/10.1016/S0040-9383(01)00027-1.

[GP95]

Tim N. T. Goodman and Jörg Peters. “Bézier nets, convexity and subdivision on higher-dimensional simplices”. In: Comput. Aided Geom. Design 12.1 (1995), pp. 53–65. url: http://dx.doi.org/10.1016/0167-8396(93)E0057-K.

[Gra]

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[Gra89]

Daniel R. Grayson. “Exterior power operations on higher \(K\)-theory”. In: \(K\)-Theory 3.3 (1989), pp. 247–260. url: http://dx.doi.org/10.1007/BF00533371.

[Law70]

F. William Lawvere. “Equality in hyperdoctrines and comprehension schema as an adjoint functor”. In: Applications of Categorical Algebra (Proc. Sympos. Pure Math., Vol. XVII, New York, 1968). Amer. Math. Soc., Providence, R.I., 1970, pp. 1–14.

[Lur]

Jacob Lurie. Higher Algebra. url: https://www.math.ias.edu/~lurie/papers/HA.pdf.

[Seg73]

Graeme Segal. “Configuration-spaces and iterated loop-spaces”. In: Invent. Math. 21 (1973), pp. 213–221. url: https://doi.org/10.1007/BF01390197.

[Wei01]

Charles Weibel. “Homotopy ends and Thomason model categories”. In: Selecta Math. (N.S.) 7.4 (2001), pp. 533–564. arXiv: math/0106052. url: http://dx.doi.org/10.1007/s00029-001-8098-3.

[Wei13]

Charles A. Weibel. The \(K\)-book. Vol. 145. Graduate Studies in Mathematics. An introduction to algebraic \(K\)-theory. Providence, RI: American Mathematical Society, 2013, pp. xii+618. isbn: 978-0-8218-9132-2.